Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O enunciado nos dá a equação:
Vamos precisar usar o conceito de fator integrante para tornar essa equação exata e, assim, poder encontrar a solução. Então, vamos por partes para entender e resolver isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Lembra que uma equação diferencial da forma é exata se:
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos toda a equação por ele, a torne exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de . Suponha que o fator seja . Multiplicando a equação original por :
Para que essa nova equação seja exata, deve valer:
Após derivar e rearranjar, chegamos a uma equação que relaciona com e . Essa equação é complicada de resolver diretamente, indicando que talvez nosso palpite inicial sobre o fator integrante esteja incorreto.
Passo 4
Diante disso, vamos tentar outra abordagem. Vamos supor que a equação seja homogênea, ou seja, todas as funções têm o mesmo grau quando consideramos como uma função de .
Fazendo a substituição (onde e ), substituímos na equação original:
Simplificando:
Que se simplifica para:
Agora, reorganizamos para separar as variáveis:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados agora. A integral fica:
Para resolver a integral à esquerda, fazemos uma decomposição em frações parciais. Sem entrar em muitos detalhes (mas você pode praticar isso!), encontramos que:
E a integral à direita é:
Passo 6
Igualando as integrais e substituindo , temos:
Podemos simplificar essa expressão multiplicando ambos os lados por :