Encontre o fator integrante e resolva:
(2 x y^2-x^2) d x+(y^2-2 x y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O enunciado nos dá a equação:
(2 x y^2-x^2) d x+(y^2-2 x y) d y=0
Vamos precisar usar o conceito de fator integrante para tornar essa equação exata e, assim, poder encontrar a solução. Então, vamos por partes para entender e resolver isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Lembra que uma equação diferencial da forma partial Mpartial y = partial Npartial x é exata se:
partial Mpartial y = 4xy partial Npartial x = -2y
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos toda a equação por ele, a torne exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de mu(y) (2xy^2 - x^2)dx + mu(y) (y^2 - 2xy)dy = 0 . Suponha que o fator seja ddy[mu(y)(2xy^2 - x^2)] = ddx[mu(y)(y^2 - 2xy)] . Multiplicando a equação original por :
Para que essa nova equação seja exata, deve valer:
Após derivar e rearranjar, chegamos a uma equação que relaciona com e . Essa equação é complicada de resolver diretamente, indicando que talvez nosso palpite inicial sobre o fator integrante esteja incorreto.

Passo 4

Diante disso, vamos tentar outra abordagem. Vamos supor que a equação seja homogênea, ou seja, todas as funções têm o mesmo grau quando consideramos (2x(vx)^2 - x^2)dx + ((vx)^2 - 2x(vx))(v dx + x dv) = 0 como uma função de (2v^2x^3 - x^2)dx + (v^2x^2 - 2v x^2)(v dx + x dv) = 0 .
Fazendo a substituição (v^3 - 1)dx + x(v^2 - 2v)dv = 0 (onde v^2 - 2vv^3 - 1 dv = -1x dx e ), substituímos na equação original:
Simplificando:
Que se simplifica para:
Agora, reorganizamos para separar as variáveis:

Passo 5

Vamos integrar os dois lados agora. A integral fica:
integral v^2 - 2vv^3 - 1 dv = -integral 1x dx
Para resolver a integral à esquerda, fazemos uma decomposição em frações parciais. Sem entrar em muitos detalhes (mas você pode praticar isso!), encontramos que:
integral v^2 - 2vv^3 - 1 dv = -13 ln|1 - v| - 23 ln|1 + v + v^2| + C
E a integral à direita é:
- ln|x| + C

Passo 6

Igualando as integrais e substituindo -13 ln|1 - yx| - 23 ln|1 + yx + (yx)^2| = -ln|x| + C , temos:
ln|1 - yx| + 2 ln|1 + yx + (yx)^2| = 3 ln|x| + C'
Podemos simplificar essa expressão multiplicando ambos os lados por :
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação é dada por:
ln|1 - yx| + 2 ln|1 + yx + (yx)^2| = 3 ln|x| + C
Onde é uma constante de integração.

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