Encontre o fator integrante e resolva:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial na forma:
O objetivo é encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver essa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Observamos que , então a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Para encontrar um fator que dependa apenas de , assumimos que . O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso parece complicado, então vamos tentar um fator que dependa apenas de .

Passo 5

Vamos tentar encontrar tal que a equação se torne exata. Assumindo que:
onde é uma função a ser determinada. Após simplificações, encontramos que:

Passo 6

Multiplicando a equação original por , temos:
Agora, a equação é exata, pois:

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, derivamos em relação a :
Igualando a multiplicado por :
Isso implica que:
Como a derivada de depende de , o termo deve ser constante. Assim, podemos ignorar .

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Sejam e o conjunto de vetores em , onde
Determine o valor de para que não seja uma base de .
Determine a solução para a equação: .
Encontre o fator integrante e resolva:
Escreva as equações a seguir na forma , determinando o centro e o raio das circunferências.
;