Encontre o fator integrante e resolva:
(y cos (x)-sin (x)) d x+(x sin (x)+y sin (x)) d y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial na forma:
(y cos (x) - sin (x)) dx + (x sin (x) + y sin (x)) dy = 0
O objetivo é encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver essa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Vamos identificar as funções M = y cos(x) - sin(x) e N = x sin(x) + y sin(x) na equação:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y = cos(x) :
partial Npartial x = sin(x) + x cos(x) + y cos(x)
Calculando :
Observamos que , então a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Para encontrar um fator que dependa apenas de dmudx = mu cdot partial Npartial x - partial Mpartial yM , assumimos que dmudx = mu cdot (sin(x) + x cos(x) + y cos(x)) - cos(x)y cos(x) - sin(x) . O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso parece complicado, então vamos tentar um fator que dependa apenas de .

Passo 5

Vamos tentar encontrar mu(x) = e^integral P(x) dx tal que a equação se torne exata. Assumindo que:
mu(x) = e^integral tan(x) dx = e^-ln|cos(x)| = 1cos(x) = sec(x)
onde é uma função a ser determinada. Após simplificações, encontramos que:

Passo 6

Multiplicando a equação original por (y - tan(x)) dx + (x tan(x) + y tan(x)) dy = 0 , temos:
partial Mpartial y = 1
Agora, a equação é exata, pois:
partial Npartial x = tan(x) + x sec^2(x) + y sec^2(x) = 1

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função partial Fpartial x = y - tan(x) tal que:
F(x, y) = yx - integral tan(x) dx + h(y)
Integrando em relação a F(x, y) = yx + ln|cos(x)| + h(y) :
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, derivamos partial Fpartial y = x + h'(y) em relação a x + h'(y) = x tan(x) + y tan(x) :
h'(y) = y tan(x)
Igualando a multiplicado por :
Isso implica que:
Como a derivada de depende de , o termo deve ser constante. Assim, podemos ignorar .

Resposta

A solução geral da equação é:
yx + ln|cos(x)| = C
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados