Encontre o fator integrante e resolva:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial na forma:
O objetivo é encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver essa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que
, então a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
Para encontrar um fator que dependa apenas de
, assumimos que
. O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso parece complicado, então vamos tentar um fator que dependa apenas de
.
Passo 5
Vamos tentar encontrar
tal que a equação se torne exata. Assumindo que:
onde
é uma função a ser determinada. Após simplificações, encontramos que:
Passo 6
Multiplicando a equação original por
, temos:
Agora, a equação é exata, pois:
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
:
Igualando a
multiplicado por
:
Isso implica que:
Como a derivada de
depende de
, o termo
deve ser constante. Assim, podemos ignorar
.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Sejam
e o conjunto de vetores
em
, onde
Determine o valor de
para que
não seja uma base de
.
Determine a solução para a equação:
.
Encontre o fator integrante e resolva:
Escreva as equações a seguir na forma
, determinando o centro e o raio das circunferências.
;