Sejam V=R^2 e o conjunto de vetores beta=u, v em V, onde
u=(1-a, 1+a) e v=(1+a, 1-a)
Determine o valor de a in R para que beta não seja uma base de V.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. O problema nos pede para encontrar o valor de tal que o conjunto de vetores não seja uma base do espaço . Para isso, precisamos entender o que é uma base e verificar as condições necessárias para que deixe de ser uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em álgebra linear, um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial se os vetores forem linearmente independentes e gerarem todo o espaço. No caso de , precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.

Passo 3

Para verificar se os vetores A = 1 - a & 1 + a 1 + a & 1 - a e det(A) = (1 - a)(1 - a) - (1 + a)(1 + a) = (1 - a)^2 - (1 + a)^2 são linearmente independentes, podemos calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base. Se for zero, eles são dependentes e não formam uma base.
Vamos formar a matriz det(A) = (1 - 2a + a^2) - (1 + 2a + a^2) = 1 - 2a + a^2 - 1 - 2a - a^2 = -4a com e :
Agora, calculamos o determinante de :
Expandindo os quadrados:

Passo 4

Para que -4a = 0 implies a = 0 não seja uma base, o determinante deve ser igual a zero:

Resposta

O valor de para que não seja uma base de é .

Exercícios relacionados