Escreva as equações a seguir na forma (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, determinando o centro e o raio das circunferências.
x^2+y^2+4 x-4 y=24;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de circunferência que é x^2 + y^2 + 4x - 4y = 24. O que a gente vai fazer aqui é colocar essa equação na forma padrão da circunferência, que é (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para as partes de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos de x e y juntos e deixar o número do outro lado da equação:
x^2 + 4x + y^2 - 4y = 24

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte de x. Olha só, a gente tem x^2 + 4x. Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de x, que é 4, então 4 dividido por 2 dá 2. Aí, elevamos ao quadrado e temos 2^2 = 4. Então, adicionamos e subtraímos 4:
x^2 + 4x + 4 - 4
Isso fica:
(x + 2)^2 - 4

Passo 4

Fazendo o mesmo para a parte de y, temos y^2 - 4y. Metade de -4 é -2, elevando ao quadrado dá (-2)^2 = 4. Então, adicionamos e subtraímos 4:
y^2 - 4y + 4 - 4
Isso fica:
(y - 2)^2 - 4

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo de volta na equação original:
(x + 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 = 24
Simplificando os números:
(x + 2)^2 + (y - 2)^2 - 8 = 24

Passo 6

Vamos mover o -8 para o outro lado da equação:
(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 24 + 8
Então:
(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 32

Resposta

A equação na forma padrão é (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 32. Isso significa que o centro da circunferência é em (-2, 2) e o raio é raiz32, que simplificado é 4raiz2.

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