Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio dado. Expresse o volume do cilindro em função da altura do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro circular reto que está inscrito numa esfera com raio . Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula para o volume desse cilindro em função da altura dele. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre o volume de cilindros e as relações geométricas dentro de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é calculado pela fórmula:
onde é o raio da base do cilindro e é a altura. Nosso desafio é expressar apenas em função de , então precisamos encontrar uma relação entre e .

Passo 3

Como o cilindro está inscrito na esfera, a altura do cilindro e o raio da sua base estão relacionados ao raio da esfera. Se imaginarmos o cilindro dentro da esfera, podemos formar um triângulo retângulo onde:
  • A altura do cilindro corresponde a um dos catetos (mais precisamente, metade da altura vai do centro da esfera até a base do cilindro).
  • O raio do cilindro é o outro cateto.
  • O raio da esfera é a hipotenusa.
Então, pelo Teorema de Pitágoras:

Passo 4

Agora, vamos isolar nessa equação para substituir na fórmula do volume:

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
Então, agora temos o volume em função da altura .

Passo 6

Por fim, vamos determinar o domínio dessa função. Como a altura do cilindro não pode ser maior que o diâmetro da esfera (que é ) e nem negativa, o domínio de é:

Resposta

A fórmula do volume do cilindro em função da altura é:
E o domínio dessa função é:

Exercícios relacionados

Determine na função , definida em , para que a imagem seja .
Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Seja a distância de a . Expresse em função de , sabendo que é um ponto do gráfico de .
Seja uma função quadrática tal que . Sabendo que e são raízes e que , pede-se: Verifique se apresenta máximo ou mínimo, justificando sua resposta.
(Teste T 1 - 2020.2) Seja definida por:
É correto afirmar que:
a) é bijetora e .
b) é sobrejetora, mas não é injetora.
c) é bijetora e .
d) é bijetora e .
e) é injetora, mas não é sobrejetora.