Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio
dado. Expresse o volume
do cilindro em função da altura
do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro circular reto que está inscrito numa esfera com raio
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula para o volume
desse cilindro em função da altura
dele. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre o volume de cilindros e as relações geométricas dentro de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é calculado pela fórmula:
onde
é o raio da base do cilindro e
é a altura. Nosso desafio é expressar
apenas em função de
, então precisamos encontrar uma relação entre
e
.
Passo 3
Como o cilindro está inscrito na esfera, a altura
do cilindro e o raio
da sua base estão relacionados ao raio
da esfera. Se imaginarmos o cilindro dentro da esfera, podemos formar um triângulo retângulo onde:
- A altura
do cilindro corresponde a um dos catetos (mais precisamente, metade da altura vai do centro da esfera até a base do cilindro). - O raio
do cilindro é o outro cateto. - O raio
da esfera é a hipotenusa.
Então, pelo Teorema de Pitágoras:
Passo 4
Agora, vamos isolar
nessa equação para substituir na fórmula do volume:
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume:
Então, agora temos o volume
em função da altura
.
Passo 6
Por fim, vamos determinar o domínio dessa função. Como a altura
do cilindro não pode ser maior que o diâmetro da esfera (que é
) e nem negativa, o domínio de
é:
Resposta
A fórmula do volume
do cilindro em função da altura
é:
E o domínio dessa função é: