Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio
dado. Expresse o volume
do cilindro em função da altura
do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro circular reto que está inscrito numa esfera com raio
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula para o volume
desse cilindro em função da altura
dele. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre o volume de cilindros e as relações geométricas dentro de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cilindro é calculado pela fórmula:
onde
é o raio da base do cilindro e
é a altura. Nosso desafio é expressar
apenas em função de
, então precisamos encontrar uma relação entre
e
.
Passo 3
Como o cilindro está inscrito na esfera, a altura
do cilindro e o raio
da sua base estão relacionados ao raio
da esfera. Se imaginarmos o cilindro dentro da esfera, podemos formar um triângulo retângulo onde:
- A altura
do cilindro corresponde a um dos catetos (mais precisamente, metade da altura vai do centro da esfera até a base do cilindro). - O raio
do cilindro é o outro cateto. - O raio
da esfera é a hipotenusa.
Então, pelo Teorema de Pitágoras:
Passo 4
Agora, vamos isolar
nessa equação para substituir na fórmula do volume:
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume:
Então, agora temos o volume
em função da altura
.
Passo 6
Por fim, vamos determinar o domínio dessa função. Como a altura
do cilindro não pode ser maior que o diâmetro da esfera (que é
) e nem negativa, o domínio de
é:
Resposta
A fórmula do volume
do cilindro em função da altura
é:
E o domínio dessa função é:
Exercícios relacionados
Determine
na função
, definida em
, para que a imagem seja
.
Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Seja
a distância de
a
. Expresse
em função de
, sabendo que
é um ponto do gráfico de
.
Seja
uma função quadrática tal que
. Sabendo que
e
são raízes e que
, pede-se: Verifique se
apresenta máximo ou mínimo, justificando sua resposta.
(Teste T 1 - 2020.2) Seja
definida por:
É correto afirmar que:
a) é bijetora e
.
b) é sobrejetora, mas não é injetora.
c) é bijetora e
.
d) é bijetora e
.
e) é injetora, mas não é sobrejetora.
a)
b)
c)
d)
e)