Determine m na função f(x) = 3x^2 - 4x + m, definida em R, para que a imagem seja Im = {y ∈ R | y ≥ 2}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de na função definida para todo número real ( ), de forma que a imagem dessa função seja . Isso significa que queremos que o menor valor que a função assume seja 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas, especificamente o cálculo do valor mínimo de uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática da forma representa uma parábola. Se o coeficiente é positivo, a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo. O valor de no vértice da parábola (onde ocorre o mínimo) é dado pela fórmula:
No nosso caso, e . Vamos calcular :

Passo 3

Agora que encontramos o no vértice, vamos calcular o valor mínimo da função, que é :
Vamos calcular passo a passo:
Então:

Passo 4

Queremos que o mínimo da função seja 2, ou seja:
Vamos resolver para :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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