Determine
na função
, definida em
, para que a imagem seja
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de
na função
definida para todo número real (
), de forma que a imagem dessa função seja
. Isso significa que queremos que o menor valor que a função assume seja 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas, especificamente o cálculo do valor mínimo de uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática da forma
representa uma parábola. Se o coeficiente
é positivo, a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo. O valor de
no vértice da parábola (onde ocorre o mínimo) é dado pela fórmula:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular
:
Passo 3
Agora que encontramos o
no vértice, vamos calcular o valor mínimo da função, que é
:
Vamos calcular passo a passo:
Então:
Passo 4
Queremos que o mínimo da função seja 2, ou seja:
Vamos resolver para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a condição é
.