Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Seja a distância de a . Expresse em função de , sabendo que é um ponto do gráfico de .

Passo 1

Estamos com um exercício que pede para encontrar uma fórmula para a distância entre a origem e um ponto que está no gráfico da função . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância no plano cartesiano e depois determinar o domínio dessa função resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos e , a distância entre eles é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre a origem e um ponto no gráfico da função.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da distância ao nosso caso específico. Substituindo e , temos:
Simplificando:

Passo 4

Sabemos que o ponto está no gráfico da função . Então, podemos substituir na fórmula da distância:
Isso nos dará em termos de .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Para simplificar ainda mais, podemos combinar as frações:
E então separar a raiz:
Mas como estamos falando de distância, pode ser positivo ou negativo, então podemos considerar se ou se .

Passo 6

Agora, precisamos determinar o domínio da função . O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a expressão , vemos que não pode ser zero, pois isso causaria uma divisão por zero, que é indefinida.
Além disso, na expressão da distância:
O denominador também não pode ser zero, reforçando que .

Resposta

A fórmula para a distância em função de é:
E o domínio dessa função é todos os números reais exceto zero:
í

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