Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Seja
a distância de
a
. Expresse
em função de
, sabendo que
é um ponto do gráfico de
.
Passo 1
Estamos com um exercício que pede para encontrar uma fórmula para a distância
entre a origem
e um ponto
que está no gráfico da função
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância no plano cartesiano e depois determinar o domínio dessa função resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos
e
, a distância
entre eles é dada por:
No nosso caso, queremos a distância entre a origem
e um ponto
no gráfico da função.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula da distância ao nosso caso específico. Substituindo
e
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Sabemos que o ponto
está no gráfico da função
. Então, podemos substituir
na fórmula da distância:
Isso nos dará
em termos de
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Para simplificar ainda mais, podemos combinar as frações:
E então separar a raiz:
Mas como estamos falando de distância,
pode ser positivo ou negativo, então podemos considerar
se
ou
se
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar o domínio da função
. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Observando a expressão
, vemos que
não pode ser zero, pois isso causaria uma divisão por zero, que é indefinida.
Além disso, na expressão da distância:
O denominador
também não pode ser zero, reforçando que
.
Resposta
A fórmula para a distância
em função de
é:
E o domínio dessa função é todos os números reais exceto zero:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
Determine
na função
, definida em
, para que a imagem seja
.
Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio: Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio
dado. Expresse o volume
do cilindro em função da altura
do cilindro.