Encontre uma fórmula para a função inversa.
(f) e^x / (1 + 2 e^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a fórmula da função inversa da função . Isso envolve entender como as funções inversas funcionam e aplicar um pouco de álgebra para isolar o .

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a função original de . Então, temos:
Isso significa que queremos expressar em termos de .

Passo 3

Para facilitar, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:

Passo 4

Agora, distribuímos o dentro dos parênteses:

Passo 5

Vamos reunir os termos que contêm de um lado da equação:
Fatorando , temos:

Passo 6

Isolando , obtemos:
Podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1 para simplificar:

Passo 7

Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Resposta

A função inversa é:

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