Encontre uma função
cujas derivadas parciais são
e
.
Passo 1
Beleza, temos um problema de cálculo onde precisamos encontrar uma função
cujas derivadas parciais são dadas. Especificamente, conhecemos
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de derivadas parciais para reconstruir a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a derivada parcial em relação a
para encontrar
. Ou seja, vamos calcular:
Vamos integrar termo a termo. Começando com
:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. Assim, a integral fica:
Agora, integramos
em relação a
:
Então, juntando as integrais, temos:
Onde
é uma função que depende apenas de
e surge da constante de integração.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a função
. Para isso, vamos usar a outra derivada parcial que conhecemos,
, e igualá-la à derivada de
que encontramos.
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Segundo o enunciado, sabemos que:
Então, igualando as duas expressões:
Observamos que os termos
e
se cancelam dos dois lados, restando:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Como já incluímos uma função arbitrária na integração anterior, podemos considerar
sem perda de generalidade.
Passo 4
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A função que satisfaz as derivadas parciais dadas é:
Exercícios relacionados
Para as funções u abaixo, verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, que
.
Negue as seguintes proposições:
f) Se 2 é par então não é verdade que 3 é par.
f) Se 2 é par então não é verdade que 3 é par.
Atribua valores verdades as seguintes proposições:
c) (Não é verdade que 5 é primo) e 4 é par.
c) (Não é verdade que 5 é primo) e 4 é par.