Encontre uma função f(x, y) cujas derivadas parciais são f_x(x, y) = y^2 e^(x y^2) + 4 x y e f_y(x, y) = 2xy e^(xy^2) + 2x^2 + 1.

Passo 1

Beleza, temos um problema de cálculo onde precisamos encontrar uma função cujas derivadas parciais são dadas. Especificamente, conhecemos e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de derivadas parciais para reconstruir a função .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada parcial em relação a para encontrar . Ou seja, vamos calcular:
Vamos integrar termo a termo. Começando com :
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então . Assim, a integral fica:
Agora, integramos em relação a :
Então, juntando as integrais, temos:
Onde é uma função que depende apenas de e surge da constante de integração.

Passo 3

Agora, precisamos determinar a função . Para isso, vamos usar a outra derivada parcial que conhecemos, , e igualá-la à derivada de que encontramos.
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Segundo o enunciado, sabemos que:
Então, igualando as duas expressões:
Observamos que os termos e se cancelam dos dois lados, restando:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é uma constante de integração. Como já incluímos uma função arbitrária na integração anterior, podemos considerar sem perda de generalidade.

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A função que satisfaz as derivadas parciais dadas é:

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