Para as funções u abaixo, verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se, para a função , as segundas derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja, se . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeiro em relação a e depois em relação a , e depois fazer o contrário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Lembre-se que, para derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Usamos a regra do produto para derivar:
Como :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é (pela regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é (novamente pela regra da cadeia).
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Derivando em relação a :
Como :

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .
Novamente, usamos a regra do produto:
Como :

Resposta

Como é igual a , concluímos que o Teorema de Clairaut é válido para essa função.

Exercícios relacionados

Considere a função .
Escolha a opção que determina a série de Maclaurin da sua derivada .
a.
b.
c.
d.
Encontre uma função cujas derivadas parciais são e .
Negue as seguintes proposições:
f) Se 2 é par então não é verdade que 3 é par.