Para as funções u abaixo, verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se, para a função , as segundas derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja, se
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
primeiro em relação a
e depois em relação a
, e depois fazer o contrário.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Lembre-se que, para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Usamos a regra do produto para derivar:
Como
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de em relação a
é (pela regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é (novamente pela regra da cadeia).
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Derivando em relação a
:
Como
:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Novamente, usamos a regra do produto:
Como
:
Resposta
Como é igual a , concluímos que o Teorema de Clairaut é válido para essa função.