encontre a função do produto médio e seu ponto de máximo. Esboce graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função do produto médio, descobrir onde ela atinge o ponto de máximo e ainda fazer um esboço gráfico dessa função. Isso faz parte da matéria de Teoria da Produção na Economia, onde analisamos como os insumos (como trabalho ou capital) se transformam em produção. Vamos precisar entender o que é produto médio e como encontrar seu máximo usando cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é produto médio. O produto médio (PM) é simplesmente a quantidade média de produto gerado por unidade de insumo. Matemáticamente, se é a quantidade de produto e é a quantidade de insumo (como trabalhadores), a função do produto médio é:

Passo 3

Agora, para encontrar a função do produto médio, precisamos de uma função de produção que relaciona a quantidade de insumo à quantidade de produto . Vamos supor uma função de produção comum, que é a função de produção quadrática:
Aqui, e são constantes positivas que determinam a produtividade.

Passo 4

Com essa função de produção, podemos encontrar a função do produto médio substituindo na fórmula do PM:
Então, a função do produto médio é:

Passo 5

Agora, para encontrar o ponto de máximo do produto médio, precisamos ver onde essa função atinge seu valor máximo. Observando a função , vemos que é uma linha reta decrescente (já que o coeficiente de é negativo). Isso significa que o produto médio diminui à medida que aumentamos o insumo .
No entanto, se quisermos maximizar o produto médio em termos gerais, precisamos considerar uma função de produção que permita um ponto de máximo. Vamos ajustar nossa função de produção para uma forma que tenha um ponto de máximo no PM. Uma função mais apropriada seria:
Onde e são constantes positivas.

Passo 6

Com essa nova função de produção, a função do produto médio fica:
Para encontrar o ponto de máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :
Mas não faz sentido no contexto, então percebemos que nossa função ainda não está gerando um máximo válido. Vamos ajustar novamente para uma função que permita um máximo não trivial. Vamos usar a função quadrática clássica:
E a função do produto médio:
Apesar de ser linear, para que haja um ponto máximo, precisamos de uma função do produto total que seja côncava. Vamos redefinir a função de produção para:
Agora, a função do produto médio será:

Passo 7

Agora, derivamos para encontrar o ponto de máximo:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Esse é o valor de que maximiza o produto médio.

Passo 8

Para confirmar que é um ponto de máximo, verificamos a segunda derivada:
Se , a segunda derivada é positiva, indicando que temos um ponto de mínimo. Para termos um ponto de máximo, precisamos que . Ajustando isso, consideramos negativo para que a função do produto médio tenha um ponto de máximo.
Portanto, o ponto de máximo ocorre em:
Com , esse valor de é positivo e representa o insumo que maximiza o produto médio.

Resposta

A função do produto médio é e atinge seu ponto de máximo quando . O gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo (quando ), com o ponto de máximo localizado em .

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