Se a empresa possui barK=100 unidades de capital, quantos trabalhadores L^* ela deve empregar para maximizar o lucro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos trabalhadores, representados por , uma empresa deve contratar para maximizar o lucro, dado que ela já possui unidades de capital. Vamos trabalhar com conceitos de maximização de lucro na microeconomia, usando um pouco de matemática para entender como o capital e o trabalho interagem na produção.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o lucro ( pi = Receita Total - Custo Total ) da empresa é calculado pela diferença entre a receita total e o custo total. A fórmula básica é:

Passo 3

A Receita Total ( RT = P times Q ) normalmente é o preço do produto multiplicado pela quantidade produzida ( ):
Onde é o preço do produto.

Passo 4

O Custo Total ( CT = w times L ) inclui os custos fixos e variáveis. No nosso caso, o capital é fixo, e o custo variável está relacionado aos trabalhadores ( ) contratados, que pagamos um salário ( ):

Passo 5

Então, a fórmula do lucro fica:
pi = P times Q - w times L

Passo 6

Para maximizar o lucro, a empresa precisa escolher o número de trabalhadores dpidL = 0 que faz a derivada do lucro em relação a igual a zero. Ou seja:

Passo 7

Calculando a derivada:
dpidL = P times dQdL - w = 0
Isso nos dá:
P times dQdL = w

Passo 8

Aqui, PMgL times P = w é a Produto Marginal do Trabalho (PMg_L). A condição para maximizar o lucro é quando o produto marginal do trabalho multiplicado pelo preço do produto é igual ao salário:

Passo 9

Agora, para encontrar , precisaríamos da função de produção . Sem essa função específica, não podemos calcular numericamente . Contudo, o processo geral envolve encontrar tal que a condição acima seja satisfeita.

Resposta

Para maximizar o lucro, a empresa deve contratar o número de trabalhadores PMgL times P = w onde o produto marginal do trabalho multiplicado pelo preço do produto iguala o salário, ou seja:
Sem a função de produção específica, não é possível determinar o valor exato de .

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