Encontre a função que satisfaz o problema de valor inicial y' + y = sen(x) , y(0) = 1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial:
Esse é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma o lado esquerdo em uma derivada:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Resolvemos a integral usando integração por partes ou fórmula conhecida:

Passo 7

Substituímos a integral na expressão original:
Dividindo por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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