Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida. L^{-1} { (s^2 + 1) / (s(s - 1)(s + 1)(s - 2)) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão usando o Teorema 7.3. Basicamente, vamos trabalhar com transformadas de Laplace e frações parciais para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, precisamos fazer a decomposição em frações parciais da expressão . Isso significa que vamos escrever a fração como a soma de frações mais simples cujas transformadas inversas já conhecemos.

Passo 3

Vamos considerar a forma geral da decomposição:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos substituir valores específicos de para facilitar o cálculo dos coeficientes.

Passo 5

Escolhemos valores de que zeram alguns termos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos os valores de , , e , podemos escrever a decomposição completa:

Passo 7

Vamos simplificar as frações:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Usando isso, temos:

Resposta

Portanto, a transformada inversa é:

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