Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão
usando o Teorema 7.3. Basicamente, vamos trabalhar com transformadas de Laplace e frações parciais para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, precisamos fazer a decomposição em frações parciais da expressão
. Isso significa que vamos escrever a fração como a soma de frações mais simples cujas transformadas inversas já conhecemos.
Passo 3
Vamos considerar a forma geral da decomposição:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos substituir valores específicos de
para facilitar o cálculo dos coeficientes.
Passo 5
Escolhemos valores de
que zeram alguns termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
,
e
, podemos escrever a decomposição completa:
Passo 7
Vamos simplificar as frações:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Usando isso, temos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa é: