Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em queda livre e que está sujeito a uma força F(v)=-b v^2, em que v=v0, em t=0. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as funções de velocidade e posição (função horária) de um corpo em queda livre que está sujeito a uma força proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja, . A condição inicial é que a velocidade inicial no tempo . Além disso, temos que expandir essas funções em série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, dinâmica (segunda lei de Newton) e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante F = m a com a massa m dvdt = -b v^2 e a aceleração :
Como a força que o corpo sofre é , podemos escrever:
Aqui, é a aceleração do corpo.

Passo 3

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis dvv^2 = -bm dt e integral dvv^2 = -bm integral dt :
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a relação entre e :

Passo 4

Calculando as integrais:
- 1v = -bm t + C
Onde 1v = bm t + C é a constante de integração. Vamos resolver para v = 1bm t + C :

Passo 5

Vamos determinar a constante v0 = 10 + C implies C = 1v0 usando a condição inicial v(t) = 1bm t + 1v0 = v01 + b v0m t quando :
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos expandir a função velocidade v(t) = v0 (1 + b v0m t )^-1 em série de potências até o terceiro termo. Podemos reescrever (1 + x)^-1 = 1 - x + x^2 - x^3 + cdots da seguinte forma:
v(t) = v0 (1 - b v0m t + (b v0m t)^2 - (b v0m t)^3 + cdots )
Usando o desenvolvimento em série de Taylor para v(t) approx v0 - b v0^2m t + b^2 v0^3m^2 t^2 , temos:
Aplicando isso a :
Então, até o terceiro termo:

Passo 7

Agora, para encontrar a função posição s(t) = integral v(t) dt , sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
s(t) approx integral ( v0 - b v0^2m t + b^2 v0^3m^2 t^2 ) dt
Usando a expressão aproximada de :

Passo 8

Calculando a integral:
s(t) approx v0 t - b v0^22 m t^2 + b^2 v0^33 m^2 t^3 + C'
Onde C' = 0 é a constante de integração. Considerando que s(t) approx v0 t - b v0^22 m t^2 + b^2 v0^33 m^2 t^3 :
Portanto:

Resposta

As funções de velocidade e posição, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:
v(t) approx v0 - b v0^2m t + b^2 v0^3m^2 t^2
s(t) approx v0 t - b v0^22 m t^2 + b^2 v0^33 m^2 t^3

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