Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em queda livre e que está sujeito a uma força
, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as funções de velocidade e posição (função horária) de um corpo em queda livre que está sujeito a uma força proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja,
. A condição inicial é que a velocidade inicial
no tempo
. Além disso, temos que expandir essas funções em série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, dinâmica (segunda lei de Newton) e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante
com a massa
e a aceleração
:
Como a força que o corpo sofre é
, podemos escrever:
Aqui,
é a aceleração do corpo.
Passo 3
Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a relação entre
e
:
Passo 4
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração. Vamos resolver para
:
Passo 5
Vamos determinar a constante
usando a condição inicial
quando
:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos expandir a função velocidade
em série de potências até o terceiro termo. Podemos reescrever
da seguinte forma:
Usando o desenvolvimento em série de Taylor para
, temos:
Aplicando isso a
:
Então, até o terceiro termo:
Passo 7
Agora, para encontrar a função posição
, sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Usando a expressão aproximada de
:
Passo 8
Calculando a integral:
Onde
é a constante de integração. Considerando que
:
Portanto:
Resposta
As funções de velocidade e posição, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:
Exercícios relacionados
Faça análise dimensional e verifique se as relações são válidas.
A análise dimensional fornece as unidades de alguma constante que possa existir na equação algébrica? Explique.
Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em lançamento vertical e que está sujeito a uma força
, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.
Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em lançamento horizontal de uma altura y e viaja a uma distância x e que está sujeito a uma força
horizontal e vertical, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.