Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em queda livre e que está sujeito a uma força , em que , em . Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as funções de velocidade e posição (função horária) de um corpo em queda livre que está sujeito a uma força proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja, . A condição inicial é que a velocidade inicial no tempo . Além disso, temos que expandir essas funções em série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, dinâmica (segunda lei de Newton) e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante com a massa e a aceleração :
Como a força que o corpo sofre é , podemos escrever:
Aqui, é a aceleração do corpo.

Passo 3

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a relação entre e :

Passo 4

Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração. Vamos resolver para :

Passo 5

Vamos determinar a constante usando a condição inicial quando :
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos expandir a função velocidade em série de potências até o terceiro termo. Podemos reescrever da seguinte forma:
Usando o desenvolvimento em série de Taylor para , temos:
Aplicando isso a :
Então, até o terceiro termo:

Passo 7

Agora, para encontrar a função posição , sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Usando a expressão aproximada de :

Passo 8

Calculando a integral:
Onde é a constante de integração. Considerando que :
Portanto:

Resposta

As funções de velocidade e posição, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:

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