Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em lançamento vertical e que está sujeito a uma força F(v)=-bmv ^3, em que v=v0, em t=0. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a função velocidade e a função horária de um corpo que está sendo lançado verticalmente. Esse corpo está sujeito a uma força que depende da velocidade, dada por . A condição inicial é que, no tempo , a velocidade é . Além disso, precisamos expandir essas funções em série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica (segunda lei de Newton) e séries de Taylor para a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante ma = -bmv^3 é igual à massa m dvdt = -bmv^3 vezes a aceleração dvdt = -bv^3 , ou seja, . Aqui, a força que atua no corpo é . Então, temos:
Como é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ), podemos reescrever a equação como:
Podemos simplificar cancelando a massa :

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona dvv^3 = -b dt e integral dvv^3 = -b integral dt . Precisamos resolver essa equação para encontrar -12v^2 = -bt + C . Vamos separar as variáveis:
12v^2 = bt - C
Integrando ambos os lados:
12v0^2 = -C implies C = -12v0^2
Resolvendo as integrais:
12v^2 = bt + 12v0^2
Simplificando:
1v^2 = 2bt + 1v0^2
Usando a condição inicial v(t) = 1raiz2bt + 1v0^2 , encontramos a constante v(t) = v0raiz1 + 2b v0^2 t :
(1 + x)^-1/2 approx 1 - 12x + 38x^2
Então, a expressão fica:
v(t) approx v0 (1 - 12(2b v0^2 t) + 38(2b v0^2 t)^2 )
Resolvendo para v(t) approx v0 (1 - b v0^2 t + 32b^2 v0^4 t^2 ) :
Para expandir em série de potências até o terceiro termo, vamos reescrever a expressão:
Usando a expansão de binômio para :
Aplicando isso, com :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função horária v(t) approx v0 (1 - b v0^2 t + 32b^2 v0^4 t^2 ) integrando x(t) = integral v(t) dt approx integral v0 (1 - b v0^2 t + 32b^2 v0^4 t^2 ) dt em relação ao tempo. Já temos a expressão aproximada para x(t) approx v0 t - 12b v0^3 t^2 + 12b^2 v0^5 t^3 + C :
x(t) approx v0 t - 12b v0^3 t^2 + 12b^2 v0^5 t^3
Integrando termo a termo:
Como a condição inicial é , a constante . Então:

Resposta

As funções velocidade e horária, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:
v(t) approx v0 (1 - b v0^2 t + 32b^2 v0^4 t^2 )
x(t) approx v0 t - 12b v0^3 t^2 + 12b^2 v0^5 t^3

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