Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em lançamento vertical e que está sujeito a uma força
, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a função velocidade
e a função horária
de um corpo que está sendo lançado verticalmente. Esse corpo está sujeito a uma força que depende da velocidade, dada por
. A condição inicial é que, no tempo
, a velocidade é
. Além disso, precisamos expandir essas funções em série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica (segunda lei de Newton) e séries de Taylor para a expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
é igual à massa
vezes a aceleração
, ou seja,
. Aqui, a força que atua no corpo é
. Então, temos:
Como
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), podemos reescrever a equação como:
Podemos simplificar cancelando a massa
:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona
e
. Precisamos resolver essa equação para encontrar
. Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:
Usando a condição inicial
, encontramos a constante
:
Então, a expressão fica:
Resolvendo para
:
Para expandir
em série de potências até o terceiro termo, vamos reescrever a expressão:
Usando a expansão de binômio para
:
Aplicando isso, com
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função horária
integrando
em relação ao tempo. Já temos a expressão aproximada para
:
Integrando termo a termo:
Como a condição inicial é
, a constante
. Então:
Resposta
As funções velocidade e horária, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:
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, em que
, em
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, em
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, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de Taylor até o terceiro termo.