Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em lançamento vertical e que está sujeito a uma força , em que , em . Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a função velocidade e a função horária de um corpo que está sendo lançado verticalmente. Esse corpo está sujeito a uma força que depende da velocidade, dada por . A condição inicial é que, no tempo , a velocidade é . Além disso, precisamos expandir essas funções em série de potências até o terceiro termo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica (segunda lei de Newton) e séries de Taylor para a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração , ou seja, . Aqui, a força que atua no corpo é . Então, temos:
Como é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ), podemos reescrever a equação como:
Podemos simplificar cancelando a massa :

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona e . Precisamos resolver essa equação para encontrar . Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:
Usando a condição inicial , encontramos a constante :
Então, a expressão fica:
Resolvendo para :
Para expandir em série de potências até o terceiro termo, vamos reescrever a expressão:
Usando a expansão de binômio para :
Aplicando isso, com :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função horária integrando em relação ao tempo. Já temos a expressão aproximada para :
Integrando termo a termo:
Como a condição inicial é , a constante . Então:

Resposta

As funções velocidade e horária, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:

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