Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em lançamento horizontal de uma altura y e viaja a uma distância x e que está sujeito a uma força
horizontal e vertical, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrarmos a função velocidade e a função horária de um corpo que é lançado horizontalmente de uma certa altura
, viajando uma distância
. Esse corpo está sujeito a uma força de resistência do ar que é proporcional ao quadrado da velocidade, dada por
. Queremos também expandir essas funções em uma série de potências até o terceiro termo.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente tratando de movimentos com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. Vamos usar equações diferenciais e séries de potências para encontrar as soluções solicitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está atuando no corpo. A força total
é composta pela resistência do ar tanto na direção horizontal quanto na vertical:
Aqui,
é um coeficiente que depende das características do meio e do corpo,
é a massa do corpo, e
e
são as componentes da velocidade nas direções horizontal e vertical, respectivamente.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton em cada direção. Para a direção horizontal:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade horizontal
varia com o tempo.
Passo 4
Agora, resolvemos a equação diferencial para
:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Aplicando a condição inicial
:
Então,
Invertendo ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função horária
, que nos dá a posição horizontal em função do tempo. Sabemos que:
Essa integral é uma função logarítmica, mas como queremos expandir em série de potências até o terceiro termo, vamos usar a expansão da função
.
Passo 6
A expansão em série de potências para
é:
Aplicando isso com
:
Então, nossa função
fica:
Mas como precisamos até o terceiro termo, vamos parar em
:
Passo 7
Agora, integramos
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Como em
,
, a constante
. Então:
Passo 8
Agora, resumindo, encontramos a função velocidade e a função horária expandidas em série de potências até o segundo grau (terceiro termo):
Resposta
A função velocidade e a função horária, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:
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, em que
, em
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, em que
, em
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, em que
, em
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