Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em lançamento horizontal de uma altura y e viaja a uma distância x e que está sujeito a uma força F(v)=-b m v^2 horizontal e vertical, em que v=v0, em t=0. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrarmos a função velocidade e a função horária de um corpo que é lançado horizontalmente de uma certa altura , viajando uma distância . Esse corpo está sujeito a uma força de resistência do ar que é proporcional ao quadrado da velocidade, dada por . Queremos também expandir essas funções em uma série de potências até o terceiro termo.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente tratando de movimentos com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. Vamos usar equações diferenciais e séries de potências para encontrar as soluções solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está atuando no corpo. A força total Fx = -b m vx^2 e Fy = -b m vy^2 é composta pela resistência do ar tanto na direção horizontal quanto na vertical:
Aqui, é um coeficiente que depende das características do meio e do corpo, é a massa do corpo, e e são as componentes da velocidade nas direções horizontal e vertical, respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton em cada direção. Para a direção horizontal:
m dvxdt = -b m vx^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por dvxdt = -b vx^2 :
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade horizontal varia com o tempo.

Passo 4

Agora, resolvemos a equação diferencial para dvxdt = -b vx^2 :
dvxvx^2 = -b dt
Separando as variáveis:
integral dvxvx^2 = -b integral dt
Integrando ambos os lados:
-1vx = -b t + C
1vx = b t + C
Onde 1v0 = b cdot 0 + C implies C = 1v0 é a constante de integração. Resolvendo para 1vx = b t + 1v0 :
vx = 1b t + 1v0 = v01 + b v0 t
Aplicando a condição inicial :
Então,
Invertendo ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função horária x(t) = integral vx , dt = integral v01 + b v0 t , dt , que nos dá a posição horizontal em função do tempo. Sabemos que:
Essa integral é uma função logarítmica, mas como queremos expandir em série de potências até o terceiro termo, vamos usar a expansão da função .

Passo 6

A expansão em série de potências para 11 + z = 1 - z + z^2 - z^3 + dots é:
11 + b v0 t approx 1 - b v0 t + (b v0 t)^2 - (b v0 t)^3
Aplicando isso com vx approx v0 (1 - b v0 t + (b v0 t)^2 - (b v0 t)^3) :
vx approx v0 (1 - b v0 t + (b v0 t)^2)
Então, nossa função fica:
Mas como precisamos até o terceiro termo, vamos parar em :

Passo 7

Agora, integramos x(t) = integral vx , dt approx integral v0 (1 - b v0 t + (b v0 t)^2) dt para encontrar x(t) approx v0 t - 12 b v0^2 t^2 + 13 b^2 v0^3 t^3 + C :
x(t) approx v0 t - 12 b v0^2 t^2 + 13 b^2 v0^3 t^3
Integrando termo a termo:
Como em , , a constante . Então:

Passo 8

Agora, resumindo, encontramos a função velocidade e a função horária expandidas em série de potências até o segundo grau (terceiro termo):
vx(t) approx v0 (1 - b v0 t + b^2 v0^2 t^2)
x(t) approx v0 t - 12 b v0^2 t^2 + 13 b^2 v0^3 t^3

Resposta

A função velocidade e a função horária, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:
vx(t) approx v0 (1 - b v0 t + b^2 v0^2 t^2)
x(t) approx v0 t - 12 b v0^2 t^2 + 13 b^2 v0^3 t^3

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