Encontre a função velocidade e função horária para um para um corpo em lançamento horizontal de uma altura y e viaja a uma distância x e que está sujeito a uma força horizontal e vertical, em que , em . Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrarmos a função velocidade e a função horária de um corpo que é lançado horizontalmente de uma certa altura , viajando uma distância . Esse corpo está sujeito a uma força de resistência do ar que é proporcional ao quadrado da velocidade, dada por . Queremos também expandir essas funções em uma série de potências até o terceiro termo.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de cinemática e dinâmica, especificamente tratando de movimentos com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. Vamos usar equações diferenciais e séries de potências para encontrar as soluções solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está atuando no corpo. A força total é composta pela resistência do ar tanto na direção horizontal quanto na vertical:
Aqui, é um coeficiente que depende das características do meio e do corpo, é a massa do corpo, e e são as componentes da velocidade nas direções horizontal e vertical, respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton em cada direção. Para a direção horizontal:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade horizontal varia com o tempo.

Passo 4

Agora, resolvemos a equação diferencial para :
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Resolvendo para :
Aplicando a condição inicial :
Então,
Invertendo ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função horária , que nos dá a posição horizontal em função do tempo. Sabemos que:
Essa integral é uma função logarítmica, mas como queremos expandir em série de potências até o terceiro termo, vamos usar a expansão da função .

Passo 6

A expansão em série de potências para é:
Aplicando isso com :
Então, nossa função fica:
Mas como precisamos até o terceiro termo, vamos parar em :

Passo 7

Agora, integramos para encontrar :
Integrando termo a termo:
Como em , , a constante . Então:

Passo 8

Agora, resumindo, encontramos a função velocidade e a função horária expandidas em série de potências até o segundo grau (terceiro termo):

Resposta

A função velocidade e a função horária, expandidas em série de potências até o terceiro termo, são:

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