Encontre a função velocidade e função horária para um veículo aquático que está sujeito a uma força F(v)=-b v, em que v=v0, em t=0. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de dinâmica, onde precisamos encontrar como a velocidade e a posição de um veículo aquático mudam com o tempo. O veículo está sendo puxado por uma força que depende da velocidade, dada por . A condição inicial é que, quando , a velocidade é . Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade F = m dvdt . Sabemos que a força -b v = m dvdt está relacionada à massa dvdt = -bm v e à aceleração pela segunda lei de Newton:
Dado que , substituímos na equação:
Isso resulta em uma equação diferencial de primeira ordem:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Essa é uma equação linear cuja solução geral é uma função exponencial. Integramos ambos os lados:
integral 1v dv = -bm integral dt
ln v = -bm t + C
Onde ln v0 = C é a constante de integração. Para encontrar v(t) = v0 e^-bm t , usamos a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 4

Agora, vamos expandir a função velocidade e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + dots em uma série de potências até o terceiro termo. A série de Taylor para v(t) = v0 (1 - bm t + (-bm t)^22 - (-bm t)^36 + dots ) é:
v(t) approx v0 (1 - bm t + b^22m^2 t^2 )
Substituindo :
Então, até o terceiro termo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função horária x(t) = integral v(t) dt , que representa a posição do veículo em função do tempo. Sabemos que:
x(t) = integral v0 e^-bm t dt = -m v0b e^-bm t + C
Usando a expressão exata de 0 = -m v0b e^0 + C Rightarrow C = m v0b :
x(t) = m v0b (1 - e^-bm t)
Usando a condição inicial :
Então, a função posição é:

Passo 6

Vamos também expandir e^-bm t = 1 - bm t + (bm t)^22 - (bm t)^36 + dots em uma série de potências até o terceiro termo. Usando a série de Taylor para x(t) = m v0b (1 - (1 - bm t + b^22m^2 t^2 ) ) :
x(t) approx m v0b (bm t - b^22m^2 t^2 ) = v0 t - b v02m t^2
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A função velocidade do veículo é aproximadamente:
v(t) approx v0 (1 - bm t + b^22m^2 t^2 )
E a função horária (posição) é aproximadamente:
x(t) approx v0 t - b v02m t^2

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