Encontre a função velocidade e função horária para um veículo aquático que está sujeito a uma força
, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de dinâmica, onde precisamos encontrar como a velocidade e a posição de um veículo aquático mudam com o tempo. O veículo está sendo puxado por uma força que depende da velocidade, dada por
. A condição inicial é que, quando
, a velocidade é
. Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função velocidade
. Sabemos que a força
está relacionada à massa
e à aceleração
pela segunda lei de Newton:
Dado que
, substituímos na equação:
Isso resulta em uma equação diferencial de primeira ordem:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Essa é uma equação linear cuja solução geral é uma função exponencial. Integramos ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
Passo 4
Agora, vamos expandir a função velocidade
em uma série de potências até o terceiro termo. A série de Taylor para
é:
Substituindo
:
Então, até o terceiro termo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função horária
, que representa a posição do veículo em função do tempo. Sabemos que:
Usando a expressão exata de
:
Usando a condição inicial
:
Então, a função posição é:
Passo 6
Vamos também expandir
em uma série de potências até o terceiro termo. Usando a série de Taylor para
:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A função velocidade do veículo é aproximadamente:
E a função horária (posição) é aproximadamente:
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, e da aceleração da gravidade,
.
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