Encontre a função velocidade e função horária para um veículo aquático que está sujeito a uma força , em que , em . Expandir a função velocidade e função horária em série de potências até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de dinâmica, onde precisamos encontrar como a velocidade e a posição de um veículo aquático mudam com o tempo. O veículo está sendo puxado por uma força que depende da velocidade, dada por . A condição inicial é que, quando , a velocidade é . Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade . Sabemos que a força está relacionada à massa e à aceleração pela segunda lei de Newton:
Dado que , substituímos na equação:
Isso resulta em uma equação diferencial de primeira ordem:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Essa é uma equação linear cuja solução geral é uma função exponencial. Integramos ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 4

Agora, vamos expandir a função velocidade em uma série de potências até o terceiro termo. A série de Taylor para é:
Substituindo :
Então, até o terceiro termo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função horária , que representa a posição do veículo em função do tempo. Sabemos que:
Usando a expressão exata de :
Usando a condição inicial :
Então, a função posição é:

Passo 6

Vamos também expandir em uma série de potências até o terceiro termo. Usando a série de Taylor para :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A função velocidade do veículo é aproximadamente:
E a função horária (posição) é aproximadamente:

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