Um projétil é lançado horizontalmente a partir da superfície de um plano inclinado com
em relação à horizontal. Calcule o deslocamento deste projétil, ao longo do plano, em função de sua velocidade inicial,
, e da aceleração da gravidade,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um projétil que é lançado horizontalmente de um plano inclinado que faz um ângulo de
com a horizontal. Nosso objetivo é calcular o deslocamento desse projétil ao longo do plano, em função da velocidade inicial
e da aceleração da gravidade
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática envolvendo movimento em duas dimensões e componentes de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cenário. Como o plano está inclinado em
, é útil rotacionar nosso sistema de coordenadas de forma que um eixo fique paralelo ao plano inclinado e o outro perpendicular a ele. Isso facilita a análise do movimento ao longo e perpendicular ao plano.
Passo 3
Com o sistema de coordenadas ajustado, vamos decompor a velocidade inicial
. Como o lançamento é horizontal em relação à horizontal original, na nossa nova orientação, a velocidade inicial terá apenas uma componente ao longo do plano inclinado. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos analisar as acelerações. A única aceleração atuando no projétil é a gravidade, que tem uma componente ao longo do plano inclinado. Essa componente é dada por:
A componente perpendicular será responsável por trazer o projétil de volta ao plano, mas como não há movimento inicial nessa direção, podemos focar apenas na componente ao longo do plano.
Passo 5
Para encontrar o tempo de voo, vamos considerar o movimento perpendicular ao plano. A única aceleração aqui é a componente da gravidade:
Usando a equação do movimento uniformemente acelerado:
Como
, temos:
Resolvendo para
, obtemos o tempo total de voo:
Mas como o projétil retorna ao plano,
corresponde à altura inicial, que depende do deslocamento ao longo do plano. Para simplificar, consideramos que o tempo de voo é dado por:
Na verdade, como o lançamento é horizontal, a altura inicial pode ser zero para um plano infinito. Então, vamos reformular.
Passo 6
Vamos considerar que o projétil retorna ao plano inclinado depois de um tempo
. A distância ao longo do plano
será:
E a condição para que o projétil retorne ao plano é que a deslocação perpendicular seja zero:
Como
, temos:
Isso nos indica que o projétil permanece no plano, o que não faz sentido físico. Precisamos considerar que o projétil é lançado de uma certa altura no plano.
Passo 7
Vamos assumir que o projétil é lançado de uma altura
no plano inclinado. A altura
está relacionada ao deslocamento ao longo do plano:
Agora, usando a equação do movimento vertical:
Resolvendo para
:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, substituímos o tempo
na equação do deslocamento ao longo do plano:
Substituindo
:
Simplificando a expressão:
Para resolver essa equação em termos de
, podemos isolar
:
Esse passo pode ser complexo, então vamos simplificar nossa abordagem inicial.
Passo 9
Vamos reconsiderar a abordagem, assumindo que o projétil é lançado de uma altura zero no plano inclinado. Nesse caso, o tempo de voo é determinado pela componente da velocidade na direção perpendicular ao plano.
Usando a seguinte relação:
Com
:
Passo 10
Finalmente, o deslocamento ao longo do plano
é dado por:
Substituindo
:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
O deslocamento do projétil ao longo do plano inclinado é dado por:
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e
na equação
, sendo
a posição da partícula e
o tempo.
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