Encontre a função velocidade e função horária para um veículo em movimento horizontal que está sujeito a uma força F(v)=-k m v, em que v=v0, em t=0. Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Física que envolve encontrar a função velocidade e a função horária (posição) de um veículo em movimento horizontal. A força que age sobre o veículo é dada por , onde em . O assunto principal aqui é a Dinâmica, mais especificamente o estudo das forças e como elas afetam o movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender leis de movimento, resolver equações diferenciais e trabalhar com séries de potência para expandir as funções até o terceiro termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que nos diz que F = m dvdt = -k m v , onde dvdt = -k v é a força, é a massa e é a aceleração. No nosso caso, a força depende da velocidade: .
Podemos escrever a equação da força assim:
Aqui, é a aceleração.
Cancelando a massa dos dois lados, temos:
Essa é uma equação diferencial simples que descreve como a velocidade varia com o tempo .

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela pode ser rearranjada para:
dvv = -k dt
Integrando ambos os lados:
integral 1v dv = -k integral dt
O que nos dá:
ln v = -k t + C
Onde ln v0 = -k cdot 0 + C Rightarrow C = ln v0 é a constante de integração. Para encontrar ln v = -k t + ln v0 , usamos a condição inicial v = v0 e^-k t quando :
Então, a solução geral é:
Exponenciando ambos os lados para resolver para :

Passo 4

Agora que temos a função velocidade, podemos encontrar a função posição x(t) = integral v(t) dt = integral v0 e^-k t dt integrando x(t) = -v0k e^-k t + C' :
0 = -v0k e^0 + C' Rightarrow C' = v0k
Integrando, obtemos:
x(t) = v0k (1 - e^-k t)
Onde é outra constante de integração. Considerando que no tempo , a posição :
Portanto, a função posição é:

Passo 5

Agora, vamos expandir as funções e^-k t = 1 - k t + (k t)^22 - (k t)^36 + dots e v(t) approx v0 (1 - k t + (k t)^22 - (k t)^36) em séries de potência até o terceiro termo.
Para 1 - e^-k t = k t - (k t)^22 + (k t)^36 - dots , usamos a expansão de x(t) approx v0k (k t - (k t)^22 + (k t)^36) = v0 t - v0 k t^22 + v0 k^2 t^36 :
Então, até o terceiro termo:
Para :
Até o terceiro termo:

Resposta

A função velocidade expandida em série de potência até o terceiro termo é:
v(t) approx v0 (1 - k t + (k t)^22 - (k t)^36)
E a função horária (posição) expandida até o terceiro termo é:
x(t) approx v0 t - v0 k t^22 + v0 k^2 t^36

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