Encontre a função velocidade e função horária para um veículo em movimento horizontal que está sujeito a uma força , em que , em . Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Física que envolve encontrar a função velocidade e a função horária (posição) de um veículo em movimento horizontal. A força que age sobre o veículo é dada por , onde em . O assunto principal aqui é a Dinâmica, mais especificamente o estudo das forças e como elas afetam o movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender leis de movimento, resolver equações diferenciais e trabalhar com séries de potência para expandir as funções até o terceiro termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que nos diz que , onde é a força, é a massa e é a aceleração. No nosso caso, a força depende da velocidade: .
Podemos escrever a equação da força assim:
Aqui, é a aceleração.
Cancelando a massa dos dois lados, temos:
Essa é uma equação diferencial simples que descreve como a velocidade varia com o tempo .

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela pode ser rearranjada para:
Integrando ambos os lados:
O que nos dá:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial quando :
Então, a solução geral é:
Exponenciando ambos os lados para resolver para :

Passo 4

Agora que temos a função velocidade, podemos encontrar a função posição integrando :
Integrando, obtemos:
Onde é outra constante de integração. Considerando que no tempo , a posição :
Portanto, a função posição é:

Passo 5

Agora, vamos expandir as funções e em séries de potência até o terceiro termo.
Para , usamos a expansão de :
Então, até o terceiro termo:
Para :
Até o terceiro termo:

Resposta

A função velocidade expandida em série de potência até o terceiro termo é:
E a função horária (posição) expandida até o terceiro termo é:

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