Encontre a função velocidade e função horária para um veículo em movimento horizontal que está sujeito a uma força
, em que
, em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Física que envolve encontrar a função velocidade e a função horária (posição) de um veículo em movimento horizontal. A força que age sobre o veículo é dada por
, onde
em
. O assunto principal aqui é a Dinâmica, mais especificamente o estudo das forças e como elas afetam o movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender leis de movimento, resolver equações diferenciais e trabalhar com séries de potência para expandir as funções até o terceiro termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que nos diz que
, onde
é a força,
é a massa e
é a aceleração. No nosso caso, a força depende da velocidade:
.
Podemos escrever a equação da força assim:
Aqui,
é a aceleração.
Cancelando a massa
dos dois lados, temos:
Essa é uma equação diferencial simples que descreve como a velocidade
varia com o tempo
.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela pode ser rearranjada para:
Integrando ambos os lados:
O que nos dá:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
quando
:
Então, a solução geral é:
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Passo 4
Agora que temos a função velocidade, podemos encontrar a função posição
integrando
:
Integrando, obtemos:
Onde
é outra constante de integração. Considerando que no tempo
, a posição
:
Portanto, a função posição é:
Passo 5
Agora, vamos expandir as funções
e
em séries de potência até o terceiro termo.
Para
, usamos a expansão de
:
Então, até o terceiro termo:
Para
:
Até o terceiro termo:
Resposta
A função velocidade expandida em série de potência até o terceiro termo é:
E a função horária (posição) expandida até o terceiro termo é:
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), em
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