Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma série para estudar a convergência usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. A série é:
Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Olha só:
A gente pode multiplicar o numerador e o denominador por
para eliminar a raiz no numerador:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais essa expressão. Observando o denominador:
Portanto, podemos dizer que:
Passo 4
Então, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que:
E a série
é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.
Passo 5
Como cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série harmônica (que diverge), o Critério da Comparação não nos dá informação direta. Então, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite.
Passo 6
Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
Como o limite é um número positivo e finito (
), pelas regras do Critério da Comparação pelo Limite, ambas as séries têm o mesmo comportamento. Já que a série harmônica diverge, a nossa série também diverge.
Exercícios relacionados
Usando a continuidade e o
Limite Fundamental do Cálculo, encontre:
j)
j)
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Encontre o gradiente e o Laplaciano de