Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raizn+1-raiznraizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma série para estudar a convergência usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. A série é:
sumn=1^infty raizn+1 - raiznraizn
Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Olha só:
raizn+1 - raiznraizn
A gente pode multiplicar o numerador e o denominador por (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn(raizn+1 + raizn) = (n+1) - nraizn(raizn+1 + raizn) = 1raizn(raizn+1 + raizn) para eliminar a raiz no numerador:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais essa expressão. Observando o denominador:
raizn+1 + raizn >= 2raizn
Portanto, podemos dizer que:
1raizn(raizn+1 + raizn) <= 1raizn cdot 2raizn = 12n

Passo 4

Então, vamos comparar nossa série com a série sumn=1^infty 12n = 12 sumn=1^infty 1n . Sabemos que:
E a série é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 5

Como cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série harmônica (que diverge), o Critério da Comparação não nos dá informação direta. Então, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite.

Passo 6

Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty raizn+1 - raiznraizn1n = limn to infty n(raizn+1 - raizn)raizn = limn to infty n(raizn+1 - raizn)raizn
Simplificando o numerador:
Então:
n(raizn+1 - raizn) = n cdot 1raizn+1 + raizn approx n2raizn = raizn2

Resposta

Como o limite é um número positivo e finito ( ), pelas regras do Critério da Comparação pelo Limite, ambas as séries têm o mesmo comportamento. Já que a série harmônica diverge, a nossa série também diverge.

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Usando a continuidade e o 1^o Limite Fundamental do Cálculo, encontre:
j) lim x 0 sen(x)x+tg(x)
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raiz[n]nn
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty raizn+1-raiznn
Encontre o gradiente e o Laplaciano de
phi(x) = sen(k x) sen(l y) exp(raiz(k^2 + l^2) z)