(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto .
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto . Isso envolve cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico. Vamos precisar usar duas abordagens diferentes: a definição de derivada e a regra de potência.

(i) Usando a Definição 1

Passo 2

Primeiro, vamos usar a definição de derivada, que é basicamente calcular o limite da taxa de variação média quando o intervalo tende a zero. A fórmula da derivada usando a definição é:

Passo 3

Aplicando isso na nossa função , temos:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão do limite:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite quando tende a 0:

Passo 7

Agora, vamos usar a regra de potência para derivar a função de forma mais rápida. A regra de potência diz que se , então .

Passo 8

Aplicando a regra na nossa função , derivamos termo a termo:

Passo 9

Agora, substituímos para encontrar a inclinação no ponto específico:

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto é tanto pela definição de derivada quanto pela regra de potência.

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(a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola no ponto .
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.
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5.
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