(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
.
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de encontrar a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
. Isso envolve cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico. Vamos precisar usar duas abordagens diferentes: a definição de derivada e a regra de potência.
(i) Usando a Definição 1
Passo 2
Primeiro, vamos usar a definição de derivada, que é basicamente calcular o limite da taxa de variação média quando o intervalo tende a zero. A fórmula da derivada usando a definição é:
Passo 3
Aplicando isso na nossa função
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite quando
tende a 0:
Passo 7
Agora, vamos usar a regra de potência para derivar a função de forma mais rápida. A regra de potência diz que se
, então
.
Passo 8
Aplicando a regra na nossa função
, derivamos termo a termo:
Passo 9
Agora, substituímos
para encontrar a inclinação no ponto específico:
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva
no ponto
é
tanto pela definição de derivada quanto pela regra de potência.
Exercícios relacionados
(a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola
no ponto
.
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.
Mostre que a equação tem exatamente uma solução real.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
5.
5.
A figura mostra os gráficos das funções de posição de dois corredores, A e B, que participam de uma corrida de 100 metros rasos e terminam empatados.
(a) Descreva e compare as estratégias de corrida dos dois corredores.
(a) Descreva e compare as estratégias de corrida dos dois corredores.