(a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola no ponto .
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a inclinação da reta tangente à parábola no ponto . Isso envolve cálculo, especificamente derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada usando a definição e também aplicando a regra de derivação direta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (i) usando a Definição 1 da derivada, que basicamente é calcular o limite da taxa de variação média quando o intervalo tende a zero. A definição é:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , temos:

Passo 4

Agora, calculamos :

Passo 5

Dividindo isso por :

Passo 6

Tomando o limite quando tende a 0:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (ii) usando a Equação 2, que presumivelmente é a regra de derivação para polinômios. Sabemos que a derivada de pode ser calculada diretamente.

Passo 8

Aplicando as regras de derivação:

Passo 9

Para encontrar a inclinação no ponto , substituímos na expressão da derivada:

Resposta

A inclinação da reta tangente é .

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Mostre que a equação tem exatamente uma solução real.
(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto .
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
5.