Passo 1

Então, a gente tem a função definida no intervalo . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de máximos e mínimos de funções em um intervalo fechado. Para resolver isso, precisamos encontrar a derivada da função e analisar onde ela é zero ou não existe dentro do intervalo, além de avaliar os pontos finais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo. Se a derivada for zero, pode ser um ponto máximo ou mínimo.
Derivando :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ou onde não existe.
Resolvendo :
Dentro do nosso intervalo , o valor é válido.

Passo 4

Vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Calculando nos pontos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Passo 5

Analisando os valores obtidos:
Isso mostra que o menor valor da função no intervalo é 2, atingido em , e os maiores valores são 2.5, atingidos em ambos os extremos e .

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor mínimo de 2 em e valores máximos de 2.5 nos pontos e .

Exercícios relacionados

Mostre que a equação tem exatamente uma solução real.
(a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola no ponto .
(i) usando a Definição 1. (ii) usando a Equação 2.