Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
. Sugestão: faça
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que você precisa fazer! Temos que encontrar a integral indefinida da função
. Para isso, vamos usar a técnica de substituição, conforme a sugestão de fazer
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da função que vamos integrar:
Aqui,
é a constante de integração e podemos focar na expressão que envolve
.
Passo 3
Vamos seguir a sugestão e fazer a substituição
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
No entanto, ainda temos a expressão
na integral, o que complica um pouco a substituição. Talvez precise de uma abordagem diferente.
Passo 4
Vamos tentar uma substituição mais adequada. Observando a presença de
, uma substituição trigonométrica pode facilitar. Vamos usar:
E então:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral:
Simplificando:
Passo 6
Vamos distribuir a
:
Agora, temos duas integrais para resolver separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
Usamos as identidades trigonométricas:
Multiplicando:
Então:
Usando outra identidade para
:
Portanto:
Passo 8
Segunda integral:
Usando a identidade:
Então:
Passo 9
Agora, reunimos as duas integrais:
Simplificando:
Passo 10
Agora, voltamos para a variável original
, lembrando que fizemos
, então
.
Além disso:
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Resposta
A integral indefinida da função dada é:
Exercícios relacionados
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use
Sugestão: Use
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.