Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
. Sugestão: faça

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que você precisa fazer! Temos que encontrar a integral indefinida da função . Para isso, vamos usar a técnica de substituição, conforme a sugestão de fazer .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que vamos integrar:
Aqui, é a constante de integração e podemos focar na expressão que envolve .

Passo 3

Vamos seguir a sugestão e fazer a substituição . Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a :
No entanto, ainda temos a expressão na integral, o que complica um pouco a substituição. Talvez precise de uma abordagem diferente.

Passo 4

Vamos tentar uma substituição mais adequada. Observando a presença de , uma substituição trigonométrica pode facilitar. Vamos usar:
E então:

Passo 5

Agora, substituímos e na integral:
Simplificando:

Passo 6

Vamos distribuir a :
Agora, temos duas integrais para resolver separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
Usamos as identidades trigonométricas:
Multiplicando:
Então:
Usando outra identidade para :
Portanto:

Passo 8

Segunda integral:
Usando a identidade:
Então:

Passo 9

Agora, reunimos as duas integrais:
Simplificando:

Passo 10

Agora, voltamos para a variável original , lembrando que fizemos , então .
Além disso:
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Resposta

A integral indefinida da função dada é:

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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use
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