Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a integral indefinida da função . Isso significa que queremos descobrir uma função cuja derivada seja . Para resolver isso, vamos usar um método chamado integração por partes, que é super útil quando estamos lidando com o produto de duas funções. Então, vamos precisar entender como aplicar essa técnica para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes. A fórmula é:
Aqui, e são partes da nossa função original que vamos escolher estrategicamente para facilitar a integração. Nosso objetivo é escolher e de forma que a integral seja mais simples do que a original.

Passo 3

Vamos identificar as partes e na nossa função :
  • Seja . Assim, derivamos para encontrar :
  • Seja . Agora, integramos para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes com os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver a integral que restou:
Agora, substituímos de volta na expressão anterior:

Resposta

A integral indefinida de é:

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Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use
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. Sugestão: faça
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