Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use
Sugestão: Use
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma expressão que envolve funções trigonométricas e polinomiais. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente os métodos de substituição e integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a substituição adequada e, se necessário, a integração por partes para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no método de substituição. A dica que o enunciado dá é usar
. Isso significa que vamos substituir
por
para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos identificar as partes da integral que vão mudar com essa substituição. Se
, então a derivada de
em relação a
é:
Essa relação nos ajudará a substituir
na integral original.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original usando
:
Substituindo
por
, temos:
Aqui,
se torna
porque
.
Passo 5
Agora, vamos dividir a expressão para facilitar a integração:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral se torna:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais utilizando integração por partes quando necessário.
Passo 7
Primeiro, a integral de :
Para resolver , usamos integração por partes onde:
Para resolver , usamos integração por partes onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
A integral
também precisa de integração por partes:
Então:
Voltando:
Passo 8
Agora, a segunda integral é simples:
Passo 9
A terceira integral
já resolvemos anteriormente:
Passo 10
Agora, vamos juntar todas as partes:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, voltamos para a variável original
substituindo
:
Organizando:
Resposta
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