Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma expressão que envolve funções trigonométricas e polinomiais. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente os métodos de substituição e integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a substituição adequada e, se necessário, a integração por partes para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no método de substituição. A dica que o enunciado dá é usar . Isso significa que vamos substituir por para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos identificar as partes da integral que vão mudar com essa substituição. Se , então a derivada de em relação a é:
Essa relação nos ajudará a substituir na integral original.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original usando :
Substituindo por , temos:
Aqui, se torna porque .

Passo 5

Agora, vamos dividir a expressão para facilitar a integração:
Simplificando:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral se torna:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais utilizando integração por partes quando necessário.

Passo 7

Primeiro, a integral de :
Para resolver , usamos integração por partes onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
A integral também precisa de integração por partes:
Então:
Voltando:

Passo 8

Agora, a segunda integral é simples:

Passo 9

A terceira integral já resolvemos anteriormente:

Passo 10

Agora, vamos juntar todas as partes:
Simplificando:

Passo 11

Finalmente, voltamos para a variável original substituindo :
Organizando:

Resposta

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