Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complicada aqui:
Queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções compostas e produtos. Precisamos lembrar da Regra do Produto e, possivelmente, da Regra da Cadeia para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a função
. Ela é o produto de duas funções:
Para derivar
, vamos aplicar a Regra do Produto, que diz:
Passo 3
Vamos primeiro encontrar
, a derivada de
. Para isso, usamos a Regra do Quociente, que é:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando na Regra do Quociente:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão de
:
Expandindo o numerador:
Subtraindo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
, a derivada de
. Aqui, usamos a Regra do Poder, que diz que a derivada de
é
.
Aplicando:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar
:
Substituindo:
Passo 7
Podemos simplificar essa expressão buscando um denominador comum. O primeiro termo já tem
no denominador, e o segundo termo tem
. Para igualar os denominadores, multiplicamos o segundo termo por
no numerador e denominador:
Agora, com o mesmo denominador, podemos combinar os termos:
Passo 8
Embora possamos expandir completamente o numerador, isso resultaria em termos muito longos e complicados. Para simplificar, podemos deixar a derivada nesta forma fatorada ou, se necessário, usar softwares de álgebra para expandir e combinar termos semelhantes.
Resposta
A derivada de
é:
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