Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função) f(x) = ((x^3 + 1) / (x^2 - 3)) * (x^4 + 2*x^3 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complicada aqui:
Queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções compostas e produtos. Precisamos lembrar da Regra do Produto e, possivelmente, da Regra da Cadeia para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que compõem a função f(x). Ela é o produto de duas funções:
Para derivar , vamos aplicar a Regra do Produto, que diz:

Passo 3

Vamos primeiro encontrar , a derivada de . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que é:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na Regra do Quociente:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão de :
Expandindo o numerador:
Subtraindo:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada de . Aqui, usamos a Regra do Poder, que diz que a derivada de x^n é n x^(n-1).
Aplicando:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar :
Substituindo:

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão buscando um denominador comum. O primeiro termo já tem no denominador, e o segundo termo tem . Para igualar os denominadores, multiplicamos o segundo termo por no numerador e denominador:
Agora, com o mesmo denominador, podemos combinar os termos:

Passo 8

Embora possamos expandir completamente o numerador, isso resultaria em termos muito longos e complicados. Para simplificar, podemos deixar a derivada nesta forma fatorada ou, se necessário, usar softwares de álgebra para expandir e combinar termos semelhantes.

Resposta

A derivada de f(x) é:

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