Encontre a integral indefinida (Regra de substituição) integral 4 e^x5+e^x d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral indefinida usando a regra de substituição. O problema é calcular:
integral 4 e^x5 + e^x , dx
A matéria que estamos usando aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável) para facilitar a resolução de integrais. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma variável nova, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da fração que pode ser substituída. Olhando para o denominador u = 5 + e^x , percebemos que a derivada de em relação a é , que já está presente no numerador.
Então, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x Rightarrow du = e^x , dx em relação a 4 e^x , dx = 4 , du para substituir o . Calculando:
Observamos que no numerador temos , então podemos expressar isso em termos de :

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 4 e^x5 + e^x , dx = integral 4 , duu
Agora, a integral ficou mais simples: .

Passo 5

A integral de integral 4 , duu = 4 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, precisamos voltar à variável original 4 ln|5 + e^x| + C substituindo :

Resposta

integral 4 e^x5 + e^x , dx = 4 ln|5 + e^x| + C

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