Encontre a integral indefinida (Regra de substituição)
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a integral indefinida usando a regra de substituição. O problema é calcular:
A matéria que estamos usando aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável) para facilitar a resolução de integrais. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma variável nova, simplificando a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da fração que pode ser substituída. Olhando para o denominador
, percebemos que a derivada de
em relação a
é
, que já está presente no numerador.
Então, vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o
. Calculando:
Observamos que no numerador temos
, então podemos expressar isso em termos de
:
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples:
.
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, precisamos voltar à variável original
substituindo
: