Encontre a integral indefinida (Regra de substituição) integral x^2 e^x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Estamos lidando com integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Para isso, precisamos encontrar uma parte da função que possa ser substituída por uma variável mais simples, geralmente chamada de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função escolher para ser nosso . Observando a integral , vemos que está no expoente de , e a derivada de é . Isso sugere que vamos escolher .

Passo 3

Agora, vamos derivar u = x^3 dudx = 3x^2 du = 3x^2 , dx em relação a x^2 , dx = du3 para achar :
Queremos expressar em termos de , então rearranjamos:

Passo 4

Vamos substituir integral x^2 e^x^3 , dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du e na integral original:
A integral de em relação a é simplesmente .

Passo 5

Finalmente, vamos integrar e substituir 13 integral e^u , du = 13 e^u + C = 13 e^x^3 + C de volta para :
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^2 e^x^3 , dx = 13 e^x^3 + C

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