b) Encontre um inteiro x tal que
l x equiv 3(bmod 11) x equiv 5(bmod 19) x equiv 10(bmod 29)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um sistema de congruências, que é basicamente encontrar um número inteiro que satisfaça várias condições ao mesmo tempo. As condições são dadas em relação a três módulos diferentes: 11, 19 e 29. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Chinês dos Restos, que nos ajuda a encontrar uma solução única para sistemas como esse quando os módulos são coprimos (ou seja, não têm divisores comuns além de 1). Vamos precisar entender como aplicar esse teorema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada linha das congruências está dizendo:
x equiv 3 pmod11 x equiv 5 pmod19 x equiv 10 pmod29
Isso significa que:
  • Quando é dividido por 11, sobra 3.
  • Quando é dividido por 19, sobra 5.
  • Quando é dividido por 29, sobra 10.
Nosso objetivo é encontrar um número que funcione para todas essas condições ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema Chinês dos Restos. Primeiro, precisamos verificar se os módulos 11, 19 e 29 são coprimos entre si. Isso significa que qualquer par desses números não tem divisores comuns além de 1.
  • 11 e 19: não têm divisores comuns além de 1.
  • 11 e 29: também não têm divisores comuns além de 1.
  • 19 e 29: igualmente, não têm divisores comuns além de 1.
Como todos os pares são coprimos, podemos usar o teorema sem problemas.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto dos módulos para achar o módulo total M = 11 times 19 times 29 = 6041 :
Esse número será usado como o módulo para a solução final.

Passo 5

Em seguida, para cada módulo individual, calculamos M1 = 604111 = 549 M2 = 604119 = 317 M3 = 604129 = 208 , onde é cada um dos módulos (11, 19, 29):

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os inversos multiplicativos de cada Mi times yi equiv 1 pmodmi em relação a 549 times y1 equiv 1 pmod11 . Ou seja, precisamos encontrar um número 317 times y2 equiv 1 pmod19 tal que:
208 times y3 equiv 1 pmod29
Vamos calcular cada inverso:
  1. Para e :
    Calculando, encontramos (porque , então precisamos ajustar e achar que ).
  2. Para e :
    Aqui, . Precisamos de . Testando, encontramos porque .
  3. Para e :
    Aqui, . Precisamos de . Testando, encontramos porque .

Passo 7

Com os inversos encontrados, agora calculamos a solução usando a fórmula do Teorema Chinês dos Restos:
x = (a1 times M1 times y1) + (a2 times M2 times y2) + (a3 times M3 times y3) pmodM
Substituindo os valores:
x = (3 times 549 times 1) + (5 times 317 times 3) + (10 times 208 times 6)
Calculando cada termo:
3 times 549 times 1 = 1647 5 times 317 times 3 = 4755 10 times 208 times 6 = 12480
Somando tudo:
1647 + 4755 + 12480 = 18982
Agora, tiramos o módulo x equiv 18982 pmod6041 :
18982 div 6041 = 3 com resto 1649
Dividindo 18982 por 6041:
x equiv 1649 pmod6041
Então:

Resposta

O inteiro que satisfaz todas as condições é .

Exercícios relacionados

Resolver os sistemas abaixo indicados para as variáveis reais positivas x, y e z in R+.
6.2lx^3 y^2 z^6=1 x^4 y^5 z^12=2 x^2 y^2 z^5=3
Calcular a distância entre os planos pi1: 2 x+2 y+2 z-8=0 e pi2: x+y+z-3=0
Efetuar o balanceamento das equações químicas abaixo indicadas.
8.4 C4 H10+O2 longrightarrow CO2+H2 O
Seja a matriz A=[ll0 & 1 1 & 0 1 & 1].
13.1 Existe matriz B in Mat2 times 3(R) tal que A B=I3 ? Se a resposta for afirmativa, determinar uma tal matriz B.