Resolver os sistemas abaixo indicados para as variáveis reais positivas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com as variáveis positivas , e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações exponenciais e propriedades dos logaritmos para simplificar e resolver as incógnitas. Vamos precisar manipular as equações para encontrar relações entre , e .
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o sistema de equações que temos:
x^3 y^2 z^6 = 1 x^4 y^5 z^12 = 2 x^2 y^2 z^5 = 3
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar valores de ln(a cdot b cdot c) = ln a + ln b + ln c , e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Para facilitar, vamos aplicar logaritmos em cada equação. Lembrando que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos:
Passo 4
Aplicando logaritmo natural ( ln(x^3 y^2 z^6) = ln 1 3ln x + 2ln y + 6ln z = 0 (porque (ln 1 = 0)) ) na primeira equação:
Passo 5
Agora, aplicamos logaritmo na segunda equação:
ln(x^4 y^5 z^12) = ln 2 4ln x + 5ln y + 12ln z = ln 2
Passo 6
E na terceira equação:
ln(x^2 y^2 z^5) = ln 3 2ln x + 2ln y + 5ln z = ln 3