Resolver os sistemas abaixo indicados para as variáveis reais positivas x, y e z in R+.
6.2lx^3 y^2 z^6=1 x^4 y^5 z^12=2 x^2 y^2 z^5=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com as variáveis positivas , e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações exponenciais e propriedades dos logaritmos para simplificar e resolver as incógnitas. Vamos precisar manipular as equações para encontrar relações entre , e .

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema de equações que temos:
x^3 y^2 z^6 = 1 x^4 y^5 z^12 = 2 x^2 y^2 z^5 = 3

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar valores de ln(a cdot b cdot c) = ln a + ln b + ln c , e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Para facilitar, vamos aplicar logaritmos em cada equação. Lembrando que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos:

Passo 4

Aplicando logaritmo natural ( ln(x^3 y^2 z^6) = ln 1 3ln x + 2ln y + 6ln z = 0 (porque (ln 1 = 0)) ) na primeira equação:

Passo 5

Agora, aplicamos logaritmo na segunda equação:
ln(x^4 y^5 z^12) = ln 2 4ln x + 5ln y + 12ln z = ln 2

Passo 6

E na terceira equação:
ln(x^2 y^2 z^5) = ln 3 2ln x + 2ln y + 5ln z = ln 3

Passo 7

Agora, temos um sistema linear com as equações:
3a + 2b + 6c = 0 4a + 5b + 12c = ln 2 2a + 2b + 5c = ln 3
Onde , e . Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 8

Podemos resolver esse sistema usando métodos de eliminação. Primeiro, vamos multiplicar a terceira equação por 1.5 para facilitar a eliminação:
3a + 3b + 7.5c = 1.5 ln 3
Subtraindo a primeira equação dessa nova equação:
(3a + 3b + 7.5c) - (3a + 2b + 6c) = 1.5 ln 3 - 0 b + 1.5c = 1.5 ln 3

Passo 9

Agora, temos uma nova equação:
b + 1.5c = 1.5 ln 3 (Equação 4) çã
Vamos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar 12a + 8b + 24c = 0 12a + 15b + 36c = 3 ln 2 :
(12a + 15b + 36c) - (12a + 8b + 24c) = 3 ln 2 - 0 7b + 12c = 3 ln 2
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 10

Agora, temos mais uma equação:
7b + 12c = 3 ln 2 (Equação 5) çã
Vamos usar a Equação 4 ( b = 1.5 ln 3 - 1.5c ) para expressar em função de :

Passo 11

Substituindo 7(1.5 ln 3 - 1.5c) + 12c = 3 ln 2 10.5 ln 3 - 10.5c + 12c = 3 ln 2 10.5 ln 3 + 1.5c = 3 ln 2 na Equação 5:

Passo 12

Isolando 1.5c = 3 ln 2 - 10.5 ln 3 c = 3 ln 2 - 10.5 ln 31.5 c = 2 ln 2 - 7 ln 3 :

Passo 13

Agora que temos b = 1.5 ln 3 - 1.5c b = 1.5 ln 3 - 1.5(2 ln 2 - 7 ln 3) b = 1.5 ln 3 - 3 ln 2 + 10.5 ln 3 b = 12 ln 3 - 3 ln 2 , podemos encontrar usando a Equação 4:

Passo 14

Com 3a + 2b + 6c = 0 3a + 2(12 ln 3 - 3 ln 2) + 6(2 ln 2 - 7 ln 3) = 0 3a + 24 ln 3 - 6 ln 2 + 12 ln 2 - 42 ln 3 = 0 3a - 18 ln 3 + 6 ln 2 = 0 3a = 18 ln 3 - 6 ln 2 a = 6 ln 3 - 2 ln 2 e encontrados, vamos voltar à primeira equação para encontrar :

Passo 15

Agora, lembrando que x = e^a = e^6 ln 3 - 2 ln 2 = 3^62^2 = 7294 , y = e^b = e^12 ln 3 - 3 ln 2 = 3^122^3 = 5314418 e z = e^c = e^2 ln 2 - 7 ln 3 = 2^23^7 = 42187 , podemos encontrar , e exponenciando ambos os lados:

Resposta

As soluções positivas para o sistema são:
x = 7294, y = 5314418, z = 42187

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