Calcular a distância entre os planos pi1: 2 x+2 y+2 z-8=0 e pi2: x+y+z-3=0

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a distância entre dois planos dados pelas equações pi1: 2 x + 2 y + 2 z - 8 = 0 e pi2: x + y + z - 3 = 0. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula que calcula a distância entre planos paralelos. Primeiro, vamos ver se esses planos são realmente paralelos e quais informações precisamos para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano. Então, para pi1, o vetor normal é n1 = (2, 2, 2), e para pi2, é n2 = (1, 1, 1).

Passo 3

Agora, vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são proporcionais, ou seja, se existe um número constante k tal que n1 = k cdot n2. Observando os vetores normais:
n1 = 2 cdot n2
Isso mostra que os vetores normais são proporcionais, então os planos são paralelos.

Passo 4

Como os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre eles:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2
Aqui, as equações dos planos estão na forma A x + B y + C z + D = 0. Vamos reescrever as equações para identificar os valores de A, B, C e D de cada plano.
Para pi1: 2 x + 2 y + 2 z - 8 = 0
Então, A = 2, B = 2, C = 2, e D1 = -8.
Para pi2: x + y + z - 3 = 0
Então, A = 1, B = 1, C = 1, e D2 = -3.

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |-3 - (-8)|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |5|raiz3 = 5raiz3
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz3:
d = 5 raiz33

Resposta

A distância entre os planos pi1 e pi2 é dfrac5raiz33 unidades.

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