Calcular a distância entre os planos
e
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a distância entre dois planos dados pelas equações
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula que calcula a distância entre planos paralelos. Primeiro, vamos ver se esses planos são realmente paralelos e quais informações precisamos para aplicar a fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano. Então, para
, o vetor normal é
, e para
, é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são proporcionais, ou seja, se existe um número constante
tal que
. Observando os vetores normais:
Isso mostra que os vetores normais são proporcionais, então os planos são paralelos.
Passo 4
Como os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre eles:
Aqui, as equações dos planos estão na forma
. Vamos reescrever as equações para identificar os valores de
,
,
e
de cada plano.
Para
:
Então, ,
,
, e
.
Então,
Para
:
Então, ,
,
, e
.
Então,
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A distância entre os planos
e
é
unidades.