Encontre a interseç̧ão da reta tangente ao gráfico de
em
com o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar onde a reta tangente ao gráfico da função
no ponto
cruza o eixo
. Vamos utilizar conceitos de derivadas para achar a equação dessa reta tangente e, em seguida, descobrir o ponto onde ela intercepta o eixo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma função em um ponto específico é uma linha que toca o gráfico da função exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da função naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos da derivada da função
no ponto
, que nos dá a inclinação da tangente.
Passo 3
Vamos chamar a derivada de
de
. No ponto
, a inclinação da reta tangente será
. Com essa inclinação e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
é o ponto
e
é a inclinação.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente no ponto
.
Passo 5
Agora, para encontrar onde essa reta cruza o eixo
, precisamos encontrar o valor de
quando
. Vamos substituir
por 0 na equação da reta:
Passo 6
Vamos isolar
:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
no ponto
intercepta o eixo
no ponto
.
Exercícios relacionados
Os pontos de inflexão.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
definida por
, que passa pelo ponto
.
Os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
O gráfico de
.