Encontre a interseç̧ão da reta tangente ao gráfico de f em P = (0,3) com o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar onde a reta tangente ao gráfico da função no ponto cruza o eixo . Vamos utilizar conceitos de derivadas para achar a equação dessa reta tangente e, em seguida, descobrir o ponto onde ela intercepta o eixo .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma função em um ponto específico é uma linha que toca o gráfico da função exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da função naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos da derivada da função no ponto , que nos dá a inclinação da tangente.

Passo 3

Vamos chamar a derivada de de . No ponto , a inclinação da reta tangente será . Com essa inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é o ponto e é a inclinação.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente no ponto .

Passo 5

Agora, para encontrar onde essa reta cruza o eixo , precisamos encontrar o valor de quando . Vamos substituir por 0 na equação da reta:

Passo 6

Vamos isolar :

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto intercepta o eixo no ponto .

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