Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f: R -> R definida por f(x) = 1 - x^2, que passa pelo ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada para achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada, denotada por , nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 3

Agora, a reta tangente que estamos procurando toca a função em algum ponto e também passa pelo ponto . A inclinação dessa reta é .
A equação da reta tangente usando o ponto é:
Substituindo e :

Passo 4

Como essa reta também passa pelo ponto , vamos substituir e na equação da reta:
Simplificando:
Então, as soluções são ou .

Passo 5

Vamos verificar cada solução:
  1. Para :
    A equação da reta tangente é:
    Essa reta passa pelo ponto certinho.
  2. Para :
    A equação da reta tangente é:
    Vamos verificar se passa por :
    Também funciona!

Resposta

As equações das retas tangentes que passam pelo ponto são:

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