Os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre pontos de inflexão! Esse conceito faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente da análise de funções. Para entender pontos de inflexão, vamos precisar saber sobre derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das curvas das funções.
Passo 2
Primeiro, o que é um ponto de inflexão? É aquele ponto no gráfico de uma função onde a concavidade muda. Ou seja, a curva passa de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, a gente precisa olhar para a segunda derivada da função.
Passo 3
Vamos lembrar: a segunda derivada de uma função nos dá informação sobre a concavidade dela. Se a segunda derivada for positiva em um intervalo, a função é côncava para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncava para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, passa de positiva para negativa ou o contrário.
Passo 4
Então, para encontrar os pontos de inflexão de uma função
, seguimos esses passos:
- Calculamos a segunda derivada
. - Encontramos os valores de
onde ou onde não existe. - Verificamos se nesses pontos ocorre uma mudança de concavidade, ou seja, se a segunda derivada muda de sinal ao passar por esses pontos.
Passo 5
Vamos fazer um exemplo prático para clarear as coisas. Suponha que temos a função
.
- Primeira Derivada:
- Segunda Derivada:
- Igualamos a segunda derivada a zero:
→ - Agora, verificamos se há mudança de concavidade em
: - Para
, por exemplo, : (negativo, concava para baixo) - Para
, por exemplo, : (positivo, concava para cima) - Como houve mudança de concavidade,
é um ponto de inflexão.
- Para
Resposta
O ponto de inflexão da função
é em
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
definida por
, que passa pelo ponto
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Encontre a interseç̧ão da reta tangente ao gráfico de
em
com o eixo
.
Os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.