Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a função . O que vamos fazer é:
a) Encontrar os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo.
b) Identificar os valores máximos ou mínimos locais.
c) Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
d) Esboçar o gráfico da função usando as informações anteriores.
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função, entender onde elas são positivas ou negativas e interpretar esses resultados para entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O denominador não pode ser zero, então:
Portanto, o domínio da função é menos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada da função para encontrar os intervalos de crescimento ou decrescimento.
Usando a regra da potência e a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos identificar os pontos críticos onde ou onde a derivada não está definida.
  1. :
  2. Derivada não definida:
    Já sabemos que e não estão no domínio da função.
Então, o único ponto crítico é .

Passo 5

Vamos determinar onde a função está aumentando ou diminuindo analisando o sinal de .
Como o denominador é sempre positivo (exceto onde não está definida), o sinal de depende apenas do numerador :
  • Se , (função decresce)
  • Se , (função cresce)
Portanto:
  • A função está crescente em e .
  • A função está decrescente em e .

Passo 6

Vamos encontrar os valores máximos ou mínimos locais usando o ponto crítico .
Analisando o sinal de ao redor de :
  • À esquerda de 0 ( ): (crescente)
  • À direita de 0 ( ): (decrescente)
Como a função muda de crescente para decrescente em , temos um máximo local nesse ponto.
Calculando :
Então, o ponto máximo local é .

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda derivada para encontrar a concavidade e os pontos de inflexão.
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 8

Vamos analisar o sinal de para determinar a concavidade:
  1. O numerador é sempre positivo, pois para todo .
  2. O denominador :
    • Positivo quando , ou seja,
    • Negativo quando , ou seja,
Portanto:
  • quando → função côncava para cima.
  • quando → função côncava para baixo.

Passo 9

Vamos identificar os pontos de inflexão, que ocorrem onde a concavidade muda. Isso acontece onde ou onde não está definida.
  1. :
    Não há solução real, então não há pontos onde .
  2. Derivada não definida:
    Mas esses pontos não estão no domínio da função, então não temos pontos de inflexão.
Portanto, não há pontos de inflexão na função.

Passo 10

Com todas as informações encontradas, vamos esboçar o gráfico da função :
  • Domínio: e .
  • Assíntotas verticais: e .
  • Comportamento:
    • Cresce em e .
    • Decresce em e .
  • Máximo local: .
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em e .
    • Côncava para baixo em .
O gráfico terá duas ramificações separadas pelas assíntotas verticais, com a curva passando pelo ponto máximo local em .

Resposta

A função está crescente em e , decrescente em e . Possui um máximo local em . A concavidade é para cima em e , e para baixo em . Não há pontos de inflexão. O esboço do gráfico reflete essas características com assíntotas verticais em .

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