Encontre a inversa da matriz e de 3 maneiras distintas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz ccc2 & 0 & -1 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2. Para isso, vamos usar três métodos diferentes de calcular a inversa de uma matriz 3x3. Vamos precisar entender conceitos como determinante, matriz adjunta e operações com matrizes. Bora lá!
Passo 2
Primeiro Método: Usando a Matriz Adjugada e o Determinante
Calcular o determinante de ccca & b & c d & e & f g & h & i:
O determinante de uma matriz 3x3 det(E) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é dado por:
Calcular a matriz dos cofatores de E^-1 = 1det(E) cdot adj(E) :
Para cada elemento da matriz, calculamos o menor complementar (determinante da submatriz 2x2) e aplicamos o sinal apropriado (+ ou -).
Por exemplo, para o elemento E^-1 = -12 cdot adj(E) :
Repetindo para todos os elementos, obtemos a matriz de cofatores.
Transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta:
A adjunta é a transposta da matriz de cofatores.
Multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante:
A inversa de é dada por:
Com , fazemos:
Passo 3
Segundo Método: Usando a Regra de Cramer
Calcular o determinante de E^-1ij = det(Eji)det(E) :
Já vimos que .
Calcular determinantes das matrizes substituindo as colunas por (matriz identidade):
Para cada elemento da inversa, substituímos a coluna correspondente pela coluna de e calculamos o determinante. Por exemplo, para , substituímos a primeira coluna de pela primeira coluna de .
Construir a matriz inversa usando os determinantes calculados:
A inversa é formada pelos determinantes das matrizes ajustadas, divididos pelo determinante original:
Passo 4
Terceiro Método: Usando o Método de Gauss-Jordan (Eliminação Gaussiana)