Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma base ortonormal u = (u cdot e1) e1 + (u cdot e2) e2 + (u cdot e3) e3 no espaço tridimensional . A tarefa é mostrar que qualquer vetor nesse espaço pode ser expresso como uma combinação linear das bases, ou seja:
Vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como usar o produto escalar para decompor o vetor nessas direções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso, temos três vetores em ei cdot ej = 1 & se i = j 0 & se i neq j . “Ortonormal” significa que cada vetor da base tem norma 1 e que todos os vetores são perpendiculares entre si.
Matematicamente, isso se expressa como:
Isso facilita muito as coisas quando queremos decompor outros vetores nessa base.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto escalar (ou produto interno). É uma operação que combina dois vetores e resulta em um número (escalar). Geometricamente, o produto escalar de dois vetores a cdot b = |a| |b| cos(theta) e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Se os vetores são unitários (norma 1) e ortogonais (produto escalar zero), isso simplifica nossos cálculos.
Passo 4
Para decompor u cdot e1 = componente de u na direção de e1 na base ortonormal , a ideia é projetar em cada uma das direções da base. Isso é feito multiplicando pelo produto escalar com cada vetor base.
Então, temos:
çã
Multiplicando essa componente pelo vetor base , obtemos a parte de nessa direção. Fazemos o mesmo para e .
Passo 5
Finalmente, somando todas essas partes, reconstruímos o vetor original. Isso mostra que qualquer vetor no espaço pode ser decomposto nas direções de uma base ortonormal usando produtos escalares.
Resposta
Assim, qualquer vetor u = (u cdot e1) e1 + (u cdot e2) e2 + (u cdot e3) e3 pode ser representado como: