Beleza, vamos resolver esse exercício de mudanças de base em Álgebra Linear. A gente tem quatro bases diferentes de : , , e . O que a questão pede é para determinar as matrizes de mudança de base entre essas bases específicas. Para isso, a gente vai precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos dos vetores de outra base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se quisermos mudar de uma base para outra base , a matriz de mudança de base é formada pelas coordenadas dos vetores de escritos na base . Ou seja, cada coluna dessa matriz representa como um vetor da base se escreve na base .
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de para , ou seja, .
Os vetores de são e . Precisamos expressar cada um desses vetores como combinação linear dos vetores de , que são e .
Para :
Então, as coordenadas são .
Para :
Então, as coordenadas são .
Assim, a matriz é:
Passo 4
Agora, vamos determinar .
Os vetores de são e . Precisamos expressá-los na base , cujos vetores são e .
Para , queremos encontrar e tal que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos e . Então, as coordenadas são .
Para , queremos:
Sistema:
Resolvendo, e . Então, as coordenadas são .
Assim, a matriz é:
Passo 5
Vamos seguir para .
Os vetores de são e . Precisamos expressá-los na base , que tem os vetores e .
Para , buscamos e tais que:
Sistema:
Resolvendo, multiplicamos a primeira equação por 1:
A segunda equação:
Somando as duas:
Substituindo em uma das equações:
Então, as coordenadas são .
Para , buscamos:
Sistema:
Somando:
Substituindo:
Então, as coordenadas são .
Portanto, a matriz é:
Passo 6
Por último, vamos determinar .
Os vetores de são e . Precisamos expressá-los na base , que tem e .