Seja B1=(1,0),(0,1), B2=(1,1),(-1,0), B3=(-1,1),(2,3) e B4=(2,1),(-5,-1), bases do R^2.
(a) Determine PB1 B2, PB2 B3, PB3 B4 e PB4 B1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudanças de base em Álgebra Linear. A gente tem quatro bases diferentes de : , , e . O que a questão pede é para determinar as matrizes de mudança de base entre essas bases específicas. Para isso, a gente vai precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos dos vetores de outra base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se quisermos mudar de uma base para outra base , a matriz de mudança de base é formada pelas coordenadas dos vetores de escritos na base . Ou seja, cada coluna dessa matriz representa como um vetor da base se escreve na base .

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de (1,1) = 1 cdot (1,0) + 1 cdot (0,1) para 1 1, ou seja, (-1,0) = -1 cdot (1,0) + 0 cdot (0,1) .
Os vetores de -1 0 são PB1 B2 = 1 & -1 1 & 0 e . Precisamos expressar cada um desses vetores como combinação linear dos vetores de , que são e .
Para :
Então, as coordenadas são .
Para :
Então, as coordenadas são .
Assim, a matriz é:

Passo 4

Agora, vamos determinar (-1,1) = a cdot (1,1) + b cdot (-1,0) .
Os vetores de a - b = -1 a = 1 são 1 2 e (2,3) = a cdot (1,1) + b cdot (-1,0) . Precisamos expressá-los na base a - b = 2 a = 3 , cujos vetores são 3 1 e PB2 B3 = 1 & 3 2 & 1 .
Para , queremos encontrar e tal que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos e . Então, as coordenadas são .
Para , queremos:
Sistema:
Resolvendo, e . Então, as coordenadas são .
Assim, a matriz é:

Passo 5

Vamos seguir para (2,1) = a cdot (-1,1) + b cdot (2,3) .
Os vetores de - a + 2b = 2 a + 3b = 1 são - a + 2b = 2 e a + 3b = 1 . Precisamos expressá-los na base 5b = 3 Rightarrow b = 35 , que tem os vetores a + 3 cdot 35 = 1 Rightarrow a = 1 - 95 = -45 e -45 35.
Para (-5,-1) = a cdot (-1,1) + b cdot (2,3) , buscamos - a + 2b = -5 a + 3b = -1 e 5b = -6 Rightarrow b = -65 tais que:
a + 3 cdot (-65) = -1 Rightarrow a = -1 + 185 = 135
Sistema:
135 -65
Resolvendo, multiplicamos a primeira equação por 1:
PB3 B4 = -45 & 135 35 & -65
A segunda equação:
Somando as duas:
Substituindo em uma das equações:
Então, as coordenadas são .
Para , buscamos:
Sistema:
Somando:
Substituindo:
Então, as coordenadas são .
Portanto, a matriz é:

Passo 6

Por último, vamos determinar (1,0) = a cdot (2,1) + b cdot (-5,-1) .
Os vetores de 2a - 5b = 1 a - b = 0 são 2a - 5a = 1 Rightarrow -3a = 1 Rightarrow a = -13 e -13 -13. Precisamos expressá-los na base (0,1) = a cdot (2,1) + b cdot (-5,-1) , que tem 2a - 5b = 0 a - b = 1 e 2(b + 1) - 5b = 0 Rightarrow 2b + 2 - 5b = 0 Rightarrow -3b = -2 Rightarrow b = 23 .
Para 53 23, buscamos PB4 B1 = -13 & 53 -13 & 23 e tais que:
Sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, . As coordenadas são .
Para , buscamos:
Sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, . As coordenadas são .
Portanto, a matriz é:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
PB1 B2 = 1 & -1 1 & 0, PB2 B3 = 1 & 3 2 & 1,
PB3 B4 = -45 & 135 35 & -65, PB4 B1 = -13 & 53 -13 & 23

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u=(u cdot e1) e1+(u cdot e2) e2+(u cdot e3) e3
Encontre a inversa da matriz e E=[ccc2 & 0 & -1 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2]3 times 3 de 3 maneiras distintas.
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Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole e faça um esboço. Os focos são (-5,0) e (5,0), e amplitude focal é 9 / 2