Especifique e calcule a distância focal, a medida do eixo maior, a medida do eixo menor, os vértices e os focos das equações que descrevem elipses.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa especificar e calcular a distância focal, o tamanho do eixo maior, o tamanho do eixo menor, os vértices e os focos da equação que descreve uma elipse. A equação que temos é . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Vamos precisar transformar essa equação para a forma padrão da elipse e identificar os parâmetros principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão da elipse. A equação dada é:
Vamos trazer todos os termos para um lado:
Agora, dividimos todos os termos por 16 para simplificar:
O que simplifica para:
Passo 3
Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
Onde:
é o semi-eixo maior
é o semi-eixo menor
Comparando com nossa equação:
Vemos que e , então:
Passo 4
Legal, agora vamos identificar os eixos da elipse:
Eixo maior: é o eixo mais longo da elipse. No nosso caso, como , ambos os eixos têm o mesmo comprimento. Isso na verdade indica que a nossa “elipse” é um círculo.
Eixo menor: também tem comprimento 4, igual ao eixo maior.
Então, o comprimento do eixo maior é unidades, e o comprimento do eixo menor é unidades.
Passo 5
Agora, vamos determinar os vértices e os focos. Para uma elipse, os vértices estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior, e os focos estão a uma distância do centro, onde .
No nosso caso:
Isso significa que os focos coincidem no centro da elipse.
Passo 6
Conclusão:
Distância focal: unidades
Eixo maior: 4 unidades
Eixo menor: 4 unidades
Vértices: Como a “elipse” é um círculo, os vértices estão em todos os pontos a 2 unidades do centro. Por exemplo, , , ,
Focos: Ambos os focos estão no centro, que assumimos ser