Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. f: R^2 -> R^3 dada por f(x, y) = (x^2 * y, 2^y, x + y^2), no ponto (x0, y0) = (3, 4).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função que leva um par para um trio . Nosso objetivo é encontrar a Jacobiana dessa função no ponto específico . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Jacobiana. A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. No nosso caso, como a função vai de para , a Jacobiana será uma matriz .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da primeira componente da função, .
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente, .
  • Derivada de em relação a : (Pois não depende de .)
  • Derivada de em relação a : (Usamos a regra da derivada de exponenciais com base diferente de .)

Passo 5

Por fim, vamos para a terceira componente, .
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar a matriz Jacobiana geral:

Passo 7

Finalmente, vamos avaliar essa matriz no ponto :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A Jacobiana da função no ponto é:

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