Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. dada por , no ponto .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função que leva um par para um trio . Nosso objetivo é encontrar a Jacobiana dessa função no ponto específico . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente da função em relação a e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Jacobiana. A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. No nosso caso, como a função vai de para , a Jacobiana será uma matriz .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da primeira componente da função, .
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente, .
Derivada de em relação a :(Pois não depende de .)
Derivada de em relação a :(Usamos a regra da derivada de exponenciais com base diferente de .)
Passo 5
Por fim, vamos para a terceira componente, .
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos montar a matriz Jacobiana geral: