Encontre o limite, caso exista. Se não existir, justifique sua resposta.
lim x 0^+ arctg(ln x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites envolvendo funções compostas, especificamente a função logaritmo natural ( ) e a função arco-tangente ( ). Para resolver, vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta quando se aproxima de 0 pelo lado positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com limx 0^+ ln x = -infty quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ). A função logaritmo natural está definida para e sabemos que:
Isso significa que, à medida que fica menor e menor próximo de 0, se torna cada vez mais negativo, tendendo para menos infinito.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função arco-tangente ( limx -infty arctan x = -pi2 ). Essa função está definida para todos os números reais e tem a seguinte propriedade importante para grandes valores absolutos de :
Isso quer dizer que, quando o argumento da tende para menos infinito, o valor da função se aproxima de .

Passo 4

Como já vimos que lim x 0^+ arctan(ln x) = limy -infty arctan y = -pi2 tende para quando , podemos substituir esse resultado na função :

Resposta

-pi2

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f(x) = (4x + 5) / (x + 3)
Use tabelas para estimar os valores dos seguintes limites
lim x 0^+ 11+e^1 / x
Use tabelas para estimar os valores dos seguintes limites
lim x 0^- 11+e^1 / x