Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites no infinito, um tópico fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções polinomiais se comportam quando a variável tende ao infinito (positivo ou negativo).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador, porque quando
tende a
, os termos com os maiores expoentes vão dominar o comportamento da função.
No numerador temos:
Multiplicando, obtemos:
Os outros termos vão ter expoentes menores, então, para grandes valores de
,
domina.
No denominador temos:
Aqui, o termo de maior grau é
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão focando nos termos de maior grau:
Simplificando, temos:
Isso indica que, para
muito grande (positiva ou negativamente), a função se aproxima de 2.
Passo 4
Porém, como
está tendendo a
, é importante observar se há algum comportamento diferente. No caso das potências pares, como
e
, o sinal de
não afeta o resultado porque
e
são sempre positivos, independente do sinal de
.
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.
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