Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim u -infty (u^2+1)(2 u^2-1)(u^2+2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites no infinito, um tópico fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções polinomiais se comportam quando a variável tende ao infinito (positivo ou negativo).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador, porque quando tende a , os termos com os maiores expoentes vão dominar o comportamento da função.
No numerador temos:
Multiplicando, obtemos:
Os outros termos vão ter expoentes menores, então, para grandes valores de , domina.
No denominador temos:
Aqui, o termo de maior grau é .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão focando nos termos de maior grau:
Simplificando, temos:
Isso indica que, para muito grande (positiva ou negativamente), a função se aproxima de 2.

Passo 4

Porém, como está tendendo a , é importante observar se há algum comportamento diferente. No caso das potências pares, como e , o sinal de não afeta o resultado porque e são sempre positivos, independente do sinal de .

Resposta

Portanto, o limite é igual a lim u -infty (u^2+1)(2 u^2-1)(u^2+2)^2 = 2 .

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