Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre uma série infinita: . O que precisamos descobrir é se essa série converge (ou seja, se tem um valor finito) ou se diverge (não tem um valor definido). Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois elementos importantes dessa série:
Primeiro termo (): É o primeiro número da série, que nesse caso é .
Razão (): É o número que multiplicamos a cada termo para chegar ao próximo. Observando a série, percebemos que:Isso porque, por exemplo, para ir de para , multiplicamos por , e assim por diante.
Passo 3
Agora, para saber se a série converge ou diverge, precisamos olhar para o valor absoluto da razão ():
A regra para séries geométricas é:
Se , a série convergente e podemos calcular a soma.
Se , a série é divergente, ou seja, não tem soma finita.
Passo 4
No nosso caso, , que é maior que . Isso significa que a série não vai se aproximar de um valor específico conforme somamos mais termos; na verdade, os termos vão aumentando em módulo, alternando entre positivo e negativo, mas sem um limite definido.