Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
1 - 3/2 + 9/4 - 27/8 + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre uma série infinita: . O que precisamos descobrir é se essa série converge (ou seja, se tem um valor finito) ou se diverge (não tem um valor definido). Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois elementos importantes dessa série:
  • Primeiro termo ( ): É o primeiro número da série, que nesse caso é .
  • Razão ( ): É o número que multiplicamos a cada termo para chegar ao próximo. Observando a série, percebemos que: Isso porque, por exemplo, para ir de para , multiplicamos por , e assim por diante.

Passo 3

Agora, para saber se a série converge ou diverge, precisamos olhar para o valor absoluto da razão ( ):
A regra para séries geométricas é:
  • Se , a série convergente e podemos calcular a soma.
  • Se , a série é divergente, ou seja, não tem soma finita.

Passo 4

No nosso caso, , que é maior que . Isso significa que a série não vai se aproximar de um valor específico conforme somamos mais termos; na verdade, os termos vão aumentando em módulo, alternando entre positivo e negativo, mas sem um limite definido.

Resposta

A série é divergente.

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