Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x infty raizx+3 x^24 x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas. Vamos precisar usar propriedades de limites e simplificar a expressão para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: raizx + 3x^2 = raiz3x^2 + x approx raiz3x^2 = xraiz3 . Quando cresce muito, domina sobre , então podemos simplificar a raiz. Lembrando que para .
Então:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: 4x - 1 approx 4x . Quando tende ao infinito, o termo se torna irrelevante comparado a . Então, podemos aproximar:

Passo 4

Substituindo as aproximações no limite original, temos:
limx to infty raizx + 3x^24x - 1 approx limx to infty xraiz34x

Passo 5

Agora, simplificamos a fração. O xraiz34x = raiz34 no numerador e no denominador se cancelam:

Resposta

Então, o limite é .

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