Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim t infty(raiz25 t^2+2-5 t)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema envolve o estudo de limites no infinito, mais especificamente de expressões que contêm raízes quadradas. Para chegar à solução, vamos precisar manipular a expressão para simplificá-la e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada. Observe que raiz25 t^2 + 2 = raizt^2 (25 + 2t^2) = t raiz25 + 2t^2 domina o quando tende ao infinito. Podemos fatorar dentro da raiz:
Aqui, usamos que e que para .

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta no limite original:
limt to infty (raiz25 t^2+2 - 5 t) = limt to infty (t raiz25 + 2t^2 - 5 t)
Podemos fatorar = limt to infty [ t ( raiz25 + 2t^2 - 5 ) ] fora dos termos:

Passo 4

Vamos analisar a expressão dentro do parêntese. Quando raiz25 + 2t^2 = 5 raiz1 + 225 t^2 approx 5 (1 + 12 cdot 225 t^2) = 5 (1 + 125 t^2) tende ao infinito, t (5 (1 + 125 t^2) - 5 ) = t (5 + 15 t^2 - 5 ) = t (15 t^2) = 15 t se aproxima de 0. Então, podemos expandir a raiz usando a aproximação para pequeno:
Substituindo isso de volta na expressão:

Passo 5

Finalmente, avaliamos o limite de limt to infty 15 t = 0 quando tende ao infinito:

Resposta

O limite é igual a 0.

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