Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
. Para isso, vamos decompô-lo em frações parciais. Isso significa escrever
como uma soma de frações mais simples.
Passo 3
Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, podemos escolher valores específicos de
que simplificam a equação:
-
Se
: -
Se
: -
Se
:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos somar os termos da série usando essa decomposição:
Isso cria uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.
Passo 7
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que muitos termos positivos e negativos se cancelam ao longo da soma.
Passo 8
Após o cancelamento, sobra apenas alguns termos iniciais e finais. Ao levar o limite quando
tende ao infinito, os termos finais vão a zero. Assim, a soma da série fica:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é
.
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