Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série . Para isso, vamos decompô-lo em frações parciais. Isso significa escrever como uma soma de frações mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
1n(n+1)(n+2) = An + Bn+1 + Cn+2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de , e .

Passo 4

Para encontrar 1 = A(1)(2) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12 , 1 = B(-1)(1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 e 1 = C(-2)(-1) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12 , podemos escolher valores específicos de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 5

Agora que temos 1n(n+1)(n+2) = 1/2n - 1n+1 + 1/2n+2 , 1n(n+1)(n+2) = 12n - 1n+1 + 12(n+2) e , podemos reescrever a fração original:
Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos somar os termos da série usando essa decomposição:
sumn=1^infty ( 12n - 1n+1 + 12(n+2) )
Isso cria uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 7

Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
( 12cdot1 - 12 + 12cdot3 ) + ( 12cdot2 - 13 + 12cdot4 ) + ( 12cdot3 - 14 + 12cdot5 ) + dots
Observamos que muitos termos positivos e negativos se cancelam ao longo da soma.

Passo 8

Após o cancelamento, sobra apenas alguns termos iniciais e finais. Ao levar o limite quando 12 (1 + 12) = 12 cdot 32 = 34 tende ao infinito, os termos finais vão a zero. Assim, a soma da série fica:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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