Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x infty raiz9 x^6-xx^3+1

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar o limite da função raiz9 x^6-xx^3+1 quando x tende ao infinito. Vamos usar conceitos de limites no infinito e técnicas de simplificação de expressões algébricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador, já que quando x tende ao infinito, esses termos dominam o comportamento da função.
No numerador, temos raiz9x^6 - x. O termo de maior grau dentro da raiz é 9x^6. No denominador, o termo de maior grau é x^3.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão, fatorando o termo de maior grau tanto dentro da raiz quanto no denominador.
Dentro da raiz:
raiz9x^6 - x = raiz9x^6(1 - x9x^6) = raiz9x^6raiz1 - 19x^5
Sabemos que raiz9x^6 = raiz9raizx^6 = 3x^3.
No denominador:
x^3 + 1 = x^3(1 + 1x^3)

Passo 4

Substituindo as simplificações na expressão original, temos:
raiz9x^6 - xx^3 + 1 = 3x^3raiz1 - 19x^5x^3(1 + 1x^3)
Podemos cancelar o x^3 presente no numerador e no denominador:
= 3raiz1 - 19x^51 + 1x^3

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento das frações 19x^5 e 1x^3 quando x tende ao infinito.
Quando x infty:
  • 19x^5 0
  • 1x^3 0
Portanto, a expressão fica:
= 3raiz1 - 01 + 0 = 3 times 11 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

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