Encontre os pontos na curva
onde a reta tangente é horizontal.
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem que encontrar os pontos na curva da função $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 4 $ onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve a matéria de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a derivada dessa função para descobrir onde a inclinação da reta tangente é zero, ou seja, onde a reta é horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A função é:
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, a derivada deve ser igual a zero:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ x $:
Primeiro, podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar:
Agora, vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 5
Com os valores de $ x $ encontrados, vamos substituir na função original para encontrar os correspondentes valores de $ y $:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -1 $:
Resposta
Os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal são: