Encontre os pontos na curva y=x^3-3 x^2-9 x+4 onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que encontrar os pontos na curva da função $ y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 4 $ onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve a matéria de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a derivada dessa função para descobrir onde a inclinação da reta tangente é zero, ou seja, onde a reta é horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A função é:
y
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
x

Passo 3

Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, a derivada deve ser igual a zero:
y' = 0
3x^2 - 6x - 9 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ x $:
Primeiro, podemos dividir toda a equação por 3 para simplificar:
x
Agora, vamos fatorar:
x^2 - 2x - 3 = 0
Então, as soluções são:
(x - 3)(x + 1) = 0
x - 3 = 0 Rightarrow x = 3

Passo 5

Com os valores de $ x $ encontrados, vamos substituir na função original para encontrar os correspondentes valores de $ y $:
Para $ x = 3 $:
x
Para $ x = -1 $:
y

Resposta

Os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal são:
(3, -23) e (-1, 9)

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